⎪
⎪
⎪
ψ
╲
╱
=
𝑖
ℏ
∞
∫
-∞
χ*
(𝐻𝑉-𝑉𝐻)
ψ
𝑑𝑥
.
(7.89)
Рассмотрите случай, когда 𝑉 является также функцией времени. Покажите, что матричный элемент перехода для производной 𝑑𝑉/𝑑𝑡 совпадает с матричным элементом для оператора (𝑖/ℏ)(𝐻𝑉-𝑉𝐻)+∂𝑉/∂𝑡.
Задача 7.13. Покажите, что
⟨χ|𝑚𝑥̈|ψ⟩
=
𝑖
ℏ
∞
∫
-∞
χ*
(𝐻𝑝-𝑝𝐻)
ψ
𝑑𝑥
.
(7.90)
а также, что для любой величины 𝐴 (записанной через операторы или любым другим способом) производная ∂𝐴/∂𝑡 равна
∂𝐴
∂𝑡
+
𝑖
ℏ
(𝐻𝐴-𝐴𝐻)
.
Если рассмотреть выражение для функции 𝐹, зависящей от двух последовательных очень близких значений координат:
𝐹
=
𝑚(𝑥𝑘+1-𝑥𝑘)
ε
𝑥
𝑘
,
(7.91)
то, очевидно, получим
⟨χ|𝐹|ψ⟩
=
1
ε
∞
∫
-∞
∞
∫
-∞
χ*
(𝑥;𝑡+ε)
𝑚𝑥
𝐾(𝑥,𝑡+ε;𝑦,𝑡)
𝑦
ψ(𝑦,𝑡)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
-
1
ε
∫
χ*(𝑥,𝑡)
𝑚𝑥²
ψ(𝑦,𝑡)
𝑑𝑥
,
(7.92)
где 𝑡=𝑡𝑘. Выше, выводя соотношение (4.12) из (4.2), мы получили
∞
∫
-∞
𝐾(𝑥,𝑡+ε;𝑦,𝑡)
𝑓(𝑦)
𝑑𝑦
=
𝑓(𝑥)
+
𝑖ε
ℏ
𝐻𝑓(𝑥)
.
(7.93)
Поэтому первый интеграл в выражении (7.92) равен
1
ε
∞
∫
-∞
χ*
(𝑥;𝑡+ε)
𝑚𝑥
⎧
⎪
⎩
1+
𝑖ε
ℏ
𝐻
⎫
⎪
⎭
𝑥
ψ(𝑥,𝑡)
𝑑𝑥
.
(7.94)
Выразив функцию χ* при помощи соотношения (7.76) и использовав эрмитовость гамильтониана 𝐻, преобразуем рассматриваемый интеграл к виду
1
ε
∞
∫
-∞
χ*
(𝑥;𝑡)
⎧
⎪
⎩
1-
𝑖ε𝐻
ℏ
⎫
⎪
⎭
𝑚𝑥
⎧
⎪
⎩
1+
𝑖ε
ℏ
𝐻
⎫
⎪
⎭
𝑥
ψ(𝑥,𝑡)
𝑑𝑥
=
=
1
ε
∞
∫
-∞
χ*
(𝑥;𝑡)
𝑚𝑥²
ψ(𝑥,𝑡)
𝑑𝑥
+
1
ℏ
∞
∫
-∞
χ*
(𝑥;𝑡)
𝑚
(𝑥𝐻-𝐻𝑥)
𝑥
ψ(𝑥,𝑡)
𝑑𝑥
.
(7.95)
Тогда окончательно имеем
╱
╲
χ|𝑚
𝑥𝑘+1-𝑥𝑘
ε
𝑥
𝑘
|ψ
╲
╱
=
𝑖
ℏ
∫
χ*(𝑥;𝑡)
𝑚
(𝑥𝐻-𝐻𝑥)
𝑥
ψ(𝑥,𝑡)
𝑑𝑥
=
=
∫
χ*(𝑥;𝑡)
𝑝𝑥
ψ(𝑥,𝑡)
𝑑𝑥
.
(7.96)
Для последнего преобразования здесь применялось соотношение (7.78).
Мы рассмотрели пример использования общего правила. В интеграле, который определяет матричный элемент перехода для системы величин, зависящих от последовательных моментов времени, соответствующие операторы размещаются справа налево в том же порядке, как расположены во времени исходные матричные элементы перехода. Если интервал времени конечен и равен Δ𝑡, то в элемент перехода надо включить ядро 𝐾=exp [-(𝑖/ℏ)𝑆Δ𝑡], соответствующее этому отрезку времени (см., например, задачу 7.16). Когда расстояние е между двумя соседними точками стремится к нулю, ядро 𝐾 приближается к δ-функции, откуда и следует указанное выше правило.
Задача 7.14. Покажите, что амплитуда вероятности перехода для величины (𝑚/ε) (𝑥𝑘+1-𝑥𝑘)𝑓(𝑥𝑘+1) совпадает с амплитудой для (𝑓⋅𝑝)
Задача 7.15. Покажите, что указанное выше правило выполняется для двух последовательных импульсов, т.е.
╱
╲
χ
⎪
⎪
⎪
𝑚
𝑥𝑘+1-𝑥𝑘
ε
𝑚
𝑥𝑘-𝑥𝑘-1
ε
⎪
⎪
⎪
ψ
╲
╱
=
∫
∞
∫
-∞
χ*(𝑦,𝑡)
𝑝𝑝
ψ(𝑥,𝑡)
𝑑𝑥
𝑑𝑦
=
=
-ℏ²
∞
∫
-∞
χ*(𝑦,𝑡)
∂²
∂𝑥²
ψ(𝑦,𝑡)
𝑑𝑥
𝑑𝑦
.
(7.97)
Задача 7.16. Покажите, что
╱
╲
χ
⎪
⎪
⎪
𝑥
𝑙
𝑚𝑥𝑘+1-𝑥𝑘
ε
⎪
⎪
⎪
ψ
╲
╱
=
∫
χ*(𝑥,𝑡)
𝑥
𝐾(𝑥,𝑡;𝑦,𝑠)
⎧
⎪
⎩
ℏ
𝑖
∂
∂𝑦
⎫
⎪
⎭
ψ(𝑦,𝑠)
𝑑𝑥
𝑑𝑦
,
(7.98)
если 𝑦𝑙=𝑦 и 𝑦𝑘=𝑠 при 𝑦𝑙>𝑦𝑘. Что будет, если 𝑦𝑙<𝑦𝑘?
Заметим, что 𝑝² соответствует произведению 𝑝𝑝 (произведению двух последовательных значений импульса, подобно тому как это было в задаче 7.15), что не равно простому квадрату импульса ⟨χ|𝑚²(𝑥𝑘+1-𝑥𝑘)²/ε²|ψ⟩, взятого в один определённый момент времени. Последнее выражение при ε→0 неограниченно возрастает как 𝑚ℏ/𝑖ε что очевидно из соотношения (7.49). Разность между выражением 𝑚ℏ/𝑖ε и левой частью уравнения (7.97) в пределе составляет как раз 𝑝², т.е.
╱
╲
χ
⎪
⎪
⎪
𝑚²(𝑥𝑘+1-𝑥𝑘)²
ε²
⎪
⎪
⎪
ψ
╲
╱
=
𝑚ℏ
𝑖ε
⟨χ|1|ψ⟩
+
+
╱
╲
χ
⎪
⎪
⎪
𝑚
𝑥𝑘+1-𝑥𝑘
ε
𝑚
𝑥𝑘-𝑥𝑘-1
ε
⎪
⎪
⎪
ψ
╲
╱
.
(7.99)
Задача 7.17. Докажите это соотношение, применяя формулу (7.40) и полагая
𝐹
=
𝑚
ε
(𝑥
𝑘+1
-𝑥
