𝑘
).
§ 6. Разложение по возмущениям для векторного потенциала
Сингулярность в матричном элементе перехода для квадрата скорости, выражаемая равенством (7.49), заставляет нас весьма осторожно рассматривать многие соотношения, содержащие скорости. Запишем, например, лагранжиан частицы, находящейся в электромагнитном поле, так:
𝐿
=
𝑚
2
|𝐫̇|²
+
𝑒𝑉(𝐱,𝑦)
-
𝑒
𝑐
𝐫̇
⋅
𝐀(𝐫,𝑦)
.
(7.100)
Пусть потенциал 𝑉 равен нулю; мы учтём лишь векторный потенциал 𝐀, рассматривая его как малое возмущение. Обозначив
𝑆
0
=
𝑚
2
∫
|𝐫̇|²
𝑑𝑦
,
σ=
-
𝑒
𝑐
∫
𝐫̇
⋅
𝐀(𝐫,𝑦)
𝑑𝑦
,
запишем разложение в ряд теории возмущений и введём соответствующие матричные элементы перехода:
⟨𝑒
𝑖σ/ℏ
⟩
𝑆0
=
⟨1⟩
𝑆0
+
𝑖
ℏ
⟨σ⟩
𝑆0
-
1
2ℏ²
⟨σ²⟩
𝑆0
+… .
(7.101)
Член первого порядка равен величине -𝑖𝑒/ℏ𝑐 умноженной на выражение
╱
╲
∫
𝐫̇
⋅
𝐀(𝐫,𝑦)
𝑑𝑦
╲
╱
.
(7.102)
Нам удобнее переписать это в операторных обозначениях. При определении возмущения σ для дискретно заданной траектории (шаг определяется временны'м интервалом ε) можно было бы записать
σ=-
𝑒
𝑐
∑
𝑘
(𝐫
𝑘+1
-𝐫
𝑘
)
⋅
𝐀(𝐫
𝑘
,𝑦)
(7.103)
или же
σ=-
𝑒
𝑐
∑
𝑘
(𝐫
𝑘+1
-𝐫
𝑘
)
⋅
𝐀(𝐫
𝑘+1
,𝑦
𝑘+1
)
.
(7.104)
В обоих случаях, переходя к пределу непрерывной траектории, получим отсюда интеграл для σ. Однако если мы будем рассматривать только одну из компонент вектора 𝐀 (например, 𝐴𝑥), то обнаружим, что компонента 𝐴𝑥(𝐫𝑘+1,𝑦𝑘+1) отличается от 𝐴𝑥(𝐫𝑘,𝑦𝑘) приблизительно на величину
(𝐫
𝑘+1
-𝐫
𝑘
)
⋅∇𝐴
𝑥
+ε
∂𝐴𝑥
∂𝑡
(7.105)
которая после умножения снова на 𝐫𝑘+1-𝐫𝑘 должна бы быть поправкой второго порядка для каждого значения 𝑘, а после суммирования по всем 𝑘 — поправкой лишь порядка ε. Однако наши траектории не являются непрерывными и матричный элемент перехода для квадрата среднего значения разности 𝑥𝑘+1-𝑥𝑘 будет величиной первого порядка малости. Действительно (см. задачу 7.6),
(𝑥
𝑘+1
-𝑥
𝑘
)²
≈
-
ℏε
𝑚𝑖
,
(𝑥
𝑘+1
-𝑥
𝑘
)
(𝑦
𝑘+1
-𝑦
𝑘
)
≈
0,
(𝑦
𝑘+1
-𝑦
𝑘
)²
≈
-
ℏε
𝑚𝑖
и т.д.
с точностью до членов первого порядка по ε. Следовательно, выражения (7.103) и (7.104) различаются приблизительно на
∑
𝑘
ℏε
𝑚𝑖
∇⋅
𝐀(𝐫
𝑘
,𝑡
𝑘
)
=
ℏ
𝑚𝑖
∫
∇⋅
𝐀
𝑑𝑡
,
(7.106)
т.е. на величину нулевого порядка. Отсюда можно заключить, какая же форма выражения для σ будет правильной.
Общий ответ на подобный вопрос излагался в гл. 2, где было сформулировано правило для замены действия 𝑆 суммой вида
∑
𝑘
𝑆
кл
(𝑥
𝑘+1
,𝑡
𝑘+1
;𝑥
𝑘
,𝑡
𝑘
)
,
содержащей классическое действие 𝑆кл для перехода между двумя соседними точками. Нет необходимости вычислять действие 𝑆кл точно, для этого достаточно приближения, исключающего описанную выше двузначность. С этой точки зрения выражения (7.103) и (7.104) не вполне удовлетворительны, классическая же функция действия для короткого промежутка времени будет очень близка к
𝑆
кл
[𝑘+1,𝑘]
=
𝑚|𝐫𝑘+1-𝐫𝑘|²
2ε
+
+
1
2
[
𝐀(𝐫
𝑘+1
,𝑡
𝑘+1
)
+
𝐀(𝑟
𝑘
,𝑡
𝑘
)
]
⋅
(𝐫
𝑘+1
-𝐫
𝑘
)
.
(7.107)
Теперь понятно, что правильное выражение для возмущения σ равно среднему от выражений (7.103) и (7.104) и матричный элемент перехода в (7.99) равен
╱
╲
∑
𝑘
(𝐫
𝑘+1
-𝐫
𝑘
)
⋅
[
𝐀(𝐫
𝑘+1
,𝑡
𝑘+1
)
+
𝐀(𝐫
𝑘
,𝑡
𝑘
)
]
╲
╱
.
(7.108)
Сумму по 𝑘 вычислим в дальнейшем как некий интеграл по времени, а пока запишем полученный результат в виде оператора (1/2𝑚)(𝐩⋅𝐀+𝐀⋅𝐩).
Для электромагнитного потенциала член первого порядка в разложении по возмущениям имеет тот же самый вид, что и член первого .порядка в соотношении (6.11), лишь потенциал 𝑉 заменяется оператором
-
𝑒
2𝑐𝑚
(𝐩⋅𝐀+𝐀⋅𝐩)
.
Во втором приближении это уже неверно. Здесь необходимо вычислить
1
2
⎧
⎪
⎩
𝑒
ℏ𝑐
⎫²
⎪
⎭
╱
╲
⎡
⎢
⎣
∫
𝐫̇
⋅
𝐀(𝐫
𝑘
,𝑡
𝑘
)
⎤²
⎥
⎦
╲
╱
=
1
2
⎧
⎪
⎩
𝑒
ℏ𝑐
⎫²
