⎪
⎭
∑
𝑘
∑
𝑙
╱
╲
⎧
⎨
⎩
[𝐫
𝑘+1
-𝐫
𝑘
]
×
×
1
2
[
𝐀(𝐫
𝑘+1
,𝑡
𝑘+1
)
+
𝐀(𝐫
𝑘
,𝑡
𝑘
)
]
⎫
⎬
⎭
⎧
⎨
⎩
[𝐫
𝑙+1
-𝐫
𝑙
]
×
1
2
[
𝐀(𝐫
𝑙+1
,𝑡
𝑙+1
)
+
𝐀(𝐫
𝑙
,𝑡
𝑙
)
]
⎫
⎬
⎭
╲
╱
.
(7.109)
Если 𝑘≠𝑙, то ничего не меняется и мы получим член второго порядка, который можно было бы найти из сравнения с соотношением (6.13), подставив вместо потенциала 𝑉 оператор -(𝑒/2𝑐𝑚)(𝐩⋅𝐀+𝐀⋅𝐩). Но если 𝑘=𝑙, то произведение двух скоростей, взятых в последовательные моменты, даст нам новый член. Учитывая выражение (7.49) и результат задачи 7.6, получим дополнительно
𝑒²
2𝑐²
╱
╲
+
𝑖ℏε
𝑚
∑
𝑘
⎧
⎨
⎩
1
2
[
𝐀(𝐫
𝑘+1
,𝑡
𝑘+1
)
+
𝐀(𝐫
𝑘
,𝑡
𝑘
)
]
⎫²
⎬
⎭
╲
╱
(7.110)
что эквивалентно интегралу 𝑖𝑒²/2𝑚𝑐² ∫ [𝐀(𝐫,𝑡) ⋅𝐀(𝐫,𝑡)] 𝑑𝑡 и приводит к тому же результату, что и член нулевого порядка функции действия для потенциала (𝑒²/2𝑚𝑐²) 𝐀⋅𝐀.
Таким образом, разложение по возмущениям для действия, зависящего от вектора-потенциала 𝐀, имеет тот же вид, что и разложение (6.17), только потенциал 𝑉 здесь заменён оператором -𝑒/2𝑚𝑐 (𝐩⋅𝐀+𝐀⋅𝐩) +𝑒²/2𝑚𝑐² 𝐀⋅𝐀. Мы показали это с точностью до членов второго порядка по 𝐀; путём небольшого дополнительного рассмотрения можно показать, что все это верно в любом приближении.
Гамильтониан для частицы в поле с вектором-потенциалом 𝐀 можно записать в виде
𝐻
=
1
2𝑚
⎧
⎪
⎩
𝐩-
𝑒
𝑐
𝐀
⎫
⎪
⎭
⋅
⎧
⎪
⎩
𝐩-
𝑒
𝑐
𝐀
⎫
⎪
⎭
.
(7.111)
Это выражение отличается от аналогичного выражения для свободной частицы [𝐻своб=(1/𝑚) 𝐩⋅𝐩] тем, что здесь стоит оператор -𝑒/2𝑚𝑐 (𝐩⋅𝐀+𝐀⋅𝐩) +𝑒²/2𝑚𝑐² 𝐀⋅𝐀. Такая запись позволяет гораздо проще получить те результаты, которые мы до сих пор выводили непосредственными преобразованиями.
§ 7. Гамильтониан
Используя полученные выше результаты, легко написать амплитуду перехода для гамильтониана, сложив амплитуду перехода для квадрата импульса, делённую на 2𝑚, и амплитуду перехода для потенциала. Таким образом, для момента времени 𝑡𝑘 гамильтониан может быть записан как
𝐻
𝑘
=
𝑚
2
⎧
⎪
⎩
𝑥𝑘+1-𝑥𝑘
ε
⎫
⎪
⎭
⎧
⎪
⎩
𝑥𝑘-𝑥𝑘-1
ε
⎫
⎪
⎭
+
𝑉(𝑥
𝑘
)
.
(7.112)
В то же время операторная форма матричного элемента перехода для этого гамильтониана будет иметь вид
⟨χ|𝐻
𝑘
|ψ⟩
=
∞
∫
-∞
χ*
⎡
⎢
⎣
𝑝²
2𝑚
+𝑉(𝑥)
⎤
⎥
⎦
ψ
𝑑𝑥
=
∞
∫
-∞
χ*
𝐻ψ
𝑑𝑥
.
(7.113)
Хотя такой метод определения амплитуды перехода для гамильтониана даёт совершенно правильный результат, он тем не менее представляется несколько искусственным, поскольку здесь нигде не выражена зависимость гамильтониана от времени. Поэтому далее мы рассмотрим другое определение матричных элементов перехода, в основе которого лежит исследование изменения состояний при небольших вариациях времени. Такой подход даст нам возможность определять величину 𝐻𝑘, исходя только из вида функции 𝑆 (не касаясь того, насколько это будет сложно).
Чтобы сделать это, разобьём ось времени на бесконечно малые отрезки, подобно тому как мы поступали при определении интегралов по траекториям. Однако теперь важно отметить, что деление оси на равные отрезки не является обязательным. Здесь подходит любое разбиение точками 𝑡𝑖, важно лишь, чтобы в пределе (независимо от величины элементов разбиения) все отрезки 𝑡𝑖+1-𝑡𝑖 стремились к нулю. Предположим для простоты, что наша система состоит из одной частицы, совершающей одномерное движение. В этом случае действие запишется в виде суммы
𝑆=
∑
𝑆[𝑥
𝑖+1
,𝑡
𝑖+1
;𝑥
𝑖
,𝑡
𝑖
]
,
𝑖
(7.114)
где
𝑆[𝑥
𝑖+1
,𝑡
𝑖+1
;𝑥
𝑖
,𝑡
𝑖
]
=
𝑡𝑖+1
∫
𝑡𝑖
𝐿
[
𝑥̇(𝑡),
𝑥(𝑡)
]
𝑑𝑡
.
(7.115)
Интеграл в этом выражении взят вдоль некоторой классической траектории между точками 𝑥𝑖=𝑥(𝑡𝑖) и 𝑥𝑖+1=𝑥(𝑡𝑖+1). Следовательно, в случае нашего одномерного примера можно с достаточной точностью записать
𝑆[𝑥
𝑖+1
,𝑡
𝑖+1
;𝑥
𝑖
,𝑡
𝑖
]
=
⎡
⎢
⎣
𝑚
2
⎧
⎪
⎩
𝑥𝑖+1-𝑥𝑖
𝑡𝑖+1-𝑡𝑖
⎫²
⎪
⎭
-
𝑉(𝑥
𝑖+1
)
⎤
⎥
⎦
(𝑡
𝑖+1
-𝑡
𝑖
)
.
(7.116)
Константа нормировки для интеграла по 𝑑𝑥𝑖 в момент времени 𝑡𝑖 будет такой же, как и ранее, а именно
𝐴
=
⎡
⎢
⎣
2πℏ𝑖(𝑡𝑖+1-𝑡𝑖)
