Если сгруппировать все члены, не содержащие 𝑦, то в результате интегрирования получим 𝑆[𝑥(𝑡)]=𝑆_кл. Интеграл от суммы членов, пропорциональных первой степени 𝑦, равен нулю. Это может быть проверено непосредственным интегрированием (для этого требуется выполнить интегрирование по частям), однако такое вычисление не обязательно, так как мы уже знаем, что результат правилен. Действительно, функция 𝑥(𝑡) выбрана таким образом, что вариации траектории в первом порядке вблизи 𝑥(𝑡) не изменяют действие 𝑆. Все, что остаётся, имеет второй порядок по у и легко отделяется, так что можно написать

𝑆[𝑥(𝑡)]=

𝑆

_кл

[𝑏,𝑎]+

𝑡_𝑏

∫

𝑡_𝑎

[𝑎(𝑡)𝑦̇²+

𝑏(𝑡)𝑦̇𝑦+

𝑐(𝑡)𝑦²]𝑑𝑡.

(3.49)

Интеграл по траекториям не зависит от вида классической траектории, поэтому ядро можно представить в виде

𝐾(𝑏,𝑎)=

exp

⎧

⎪

⎩

𝑖

ℏ

𝑆

_кл

[𝑏,𝑎]

⎫

⎪

⎭

×

×

₀

∫

⁰

⎧

⎪

⎩

exp

⎧

⎨

⎩

𝑡_𝑏

∫

𝑡_𝑎

[𝑎(𝑡)𝑦̇²+

𝑏(𝑡)𝑦̇𝑦+

𝑐(𝑡)𝑦²]𝑑𝑡

⎫

⎬

⎭

⎫

⎪

⎭

𝒟𝑦(𝑡).

(3.50)

Так как в начальных и конечных точках всех траекторий 𝑦=0, то интеграл по траекториям может быть представлен функцией только от моментов времени в конечных точках. Это означает, что ядро можно записать в виде

𝐾(𝑏,𝑎)=

𝑒

^{(𝑖/ℏ)𝑆_кл[𝑏,𝑎]}

𝐹(𝑡

_𝑎

,𝑡

_𝑏

),

(3.51)

т.е. оно определяется с точностью до функции, зависящей от 𝑡_𝑎 и 𝑡_𝑏. В частности, его зависимость от пространственных переменных 𝑥_𝑎 и 𝑥_𝑏 оказывается полностью выясненной. Необходимо отметить, что зависимость ядра от коэффициентов при линейных членах 𝑑(𝑡) и 𝑒(𝑡) от свободного члена 𝑓(𝑡) также полностью известна.

Такое положение представляется характерным для различных методов вычисления интегралов по траекториям; при помощи общих приёмов могут быть получены многие результаты, однако оказывается, что часто не удаётся полностью определить экспоненциальный коэффициент. Он должен отыскиваться из других известных свойств решения, например посредством соотношения (2.31).

Интересно отметить, что приближённое выражение 𝐾~exp(𝑖𝑆_кл/ℏ) является точным в случае, когда 𝑆 представляет собой квадратичную форму.

Задача 3.6. Учитывая, что лагранжиан свободной частицы является квадратичной формой, покажите, что

𝐾(𝑏,𝑎)=

𝐹(𝑡

_𝑎

,𝑡

_𝑏

)

exp

⎡

⎢

⎣

𝑖𝑚(𝑥_𝑏-𝑥_𝑎)²

2ℏ(𝑡_𝑏-𝑡_𝑎)

⎤

⎥

⎦

(3.52)

(см. задачу 2.1), и приведите соображения в пользу того, что функция 𝐹 может зависеть только от разности 𝐹=𝐹(𝑡_𝑏-𝑡_𝑎).

Задача 3.7. Дальнейшая информация о функции 𝐹 может быть получена на основе свойства, выраженного равенством (2.31). Прежде всего заметим, что результаты решения задачи 3.6 позволяют записать функцию 𝐹(𝑡_𝑏-𝑡_𝑎) как 𝐹(𝑡), где 𝑡 — интервал времени (𝑡_𝑏-𝑡_𝑎). Используя это представление функции 𝐹 в выражении (3.52) и подставляя последнее в равенство (2.31), выразите функцию 𝐹(𝑡+𝑠) через 𝐹(𝑡) и 𝐹(𝑠), где 𝑡=𝑡_𝑏-𝑡_𝑐 и 𝑠=𝑡_𝑐-𝑡_𝑎. Покажите, что если функцию 𝐹 записать в виде

𝐹(𝑡)=

⎧

⎪

⎩

𝑚

2π𝑖ℏ𝑡

⎫½

⎪

⎭

𝑓(𝑡),

(3.53)

то новая функция 𝑓(𝑡) должна удовлетворять уравнению

𝑓(𝑡+𝑠)

=

𝑓(𝑡)𝑓(𝑠).

(3.54)

Это означает, что 𝑓(𝑡) должна иметь вид

𝑓(𝑡)=𝑒

^𝑎𝑡

,

(3.55)

где 𝑎 может быть комплексной величиной, т.е. 𝑎=α+𝑖β. Из изложенных до сих пор принципов трудно получить большую информацию о функции 𝑓(𝑡). Однако специальный выбор нормировочной константы 𝐴, как это указано в (2.21), означает, что в первом приближении по ε функция 𝑓(ε)=1. Это соответствует тому, что величина 𝑎 в выражении (3.55) полагается равной нулю. Окончательный вид функции 𝐹(𝑡) согласуется с выражением (3.3).

Из этого примера ясно, каким образом можно установить важные свойства интегралов по траекториям, даже если подынтегральные выражения являются весьма сложными функциями. Во всех случаях, когда подынтегральное выражение представляет собой экспоненциальную функцию, зависящую от траектории в степени не выше второго порядка, можно получить полное решение, исключая, может быть, лишь некоторые простые множители. Это остаётся верным независимо от числа переменных. Так, например, интеграл по траекториям вида

_𝑏

∫

^𝑎

_𝑑

∫

^𝑐

…

_𝑙

∫

^𝑘

exp{𝐸[𝑥(𝑡),𝑦(𝑡),…,𝑧(𝑡)]}

𝒟𝑥(𝑡)𝒟𝑦(𝑡)…𝒟𝑧(𝑡)

(3.56)

содержит в качестве определяющего сомножителя экспоненту exp (𝐸_кл), где 𝐸_кл — экстремальное значение 𝐸, определяемое граничными условиями. Единственное ограничение состоит в том, что величина 𝐸 является функцией второго порядка от переменных 𝑥, 𝑥 и т.д. Остающийся сомножитель представляет собой функцию времени в конечных точках траекторий. Для большинства интегралов, которые мы будем изучать, наиболее существенная информация содержится в основном в экспоненциальном члене, а не в этом сомножителе, который в большинстве практических случаев нам даже не потребуется вычислять. Такой метод вычисления интегралов по траекториям будет часто использоваться в последующих главах.

§ 6. Движение в потенциальном поле

Простое применение наш метод находит в классическом пределе, когда действие 𝑆 очень велико по сравнению с постоянной Планка ℏ. Как мы уже подчёркивали, ядро 𝐾 в этом случае приблизительно пропорционально экспоненте exp (-𝑖𝑆_кл/ℏ). Мы можем теперь математически более строго рассмотреть обоснования такого приближения. Поскольку существенными являются лишь траектории, которые очень близки к классической траектории 𝑥, сделаем подстановку 𝑥=𝑥+𝑦. Тогда, если частица движется в потенциальном поле 𝑉(𝑥), мы можем записать

𝑉(𝑥)=

𝑉(

𝑥

+𝑦)=

𝑉(

𝑥

)+

𝑦𝑉'(

𝑥

)+

𝑦²

2

𝑉''(

𝑥

)+

𝑦³

6

𝑉'''(

𝑥

)+

…,

(3.57)

где штрих обозначает дифференцирование по 𝑥 и все производные вычисляются в точках классической траектории 𝑥. Так как важны лишь малые значения 𝑦, будем предполагать, что 𝑉 — достаточно гладкая функция, так что можно пренебречь членами порядка 𝑦³ и выше. Это означает, что член 𝑦³𝑉''' и все члены более высокого порядка пренебрежимо малы по сравнению с удержанными членами.