В этом предположении подынтегральное выражение можно представить в виде квадратичной формы от 𝑦. Действительно, так как вдоль траектории 𝑥 действие 𝑆 экстремально, то
𝑆=𝑆
кл
+члены второго порядка по 𝑦.
Главный член в окончательном результате равен exp (𝑖𝑆кл/ℏ) где 𝑆кл теперь, очевидно, содержит потенциал 𝑉(𝑥) в точках классической траектории. Остающийся интеграл по 𝑦 берётся от точки 0 до точки 0 и имеет тот же вид, что и последний множитель в выражении (3.50). Этот множитель является гладкой функцией, стоящей перед экспонентой exp (𝑖𝑆кл/ℏ).
Полученный результат справедлив не только в классическом пределе, но и в других случаях. Предположим, например, что потенциал 𝑉 — квадратичная функция 𝑥. Тогда решение является точным, поскольку разложение потенциала 𝑉 в ряд (3.57) не содержит степеней выше второй. Некоторые примеры такого типа даны в задачах. В качестве другого примера предположим, что потенциал 𝑉 — медленно меняющаяся функция. В частности, если третья и более высокие производные крайне малы, то приведённый выше результат является очень хорошим приближением. Этот частный случай в квантовой механике называется ВКБ-приближением 4).
4) По именам физиков Вентцеля, Крамерса и Бриллюэна, исследовавших это приближение,— Прим. ред.
Существуют и другие случаи, когда рассматриваемое приближение оказывается хорошим. Предположим, что полное время движения очень мало. Если частица движется по траектории, сильно отличающейся от классической, то она должна иметь очень большую дополнительную скорость (чтобы за указанный интервал времени пройти расстояние от начальной до конечной точки). Добавочная кинетическая энергия пропорциональна квадрату этой большой скорости, а действие содержит член, грубо говоря, пропорциональный произведению кинетической энергии и интервала времени (т.е. пропорциональный квадрату скорости, умноженному на интервал времени). Действие вдоль таких траекторий будет очень большим, и фазы амплитуд вероятности для близлежащих траекторий будут сильно различаться. В этом случае в разложении потенциала 𝑉 снова целесообразно отбросить члены более высокого порядка.
Задача 3.8. Лагранжиан гармонического осциллятора
𝐿=
𝑚
2
𝑥̇²-
𝑚ω²
2
𝑥².
(3.58)
Покажите, что соответствующее ядро равно
𝐾=𝐹(𝑇)=
⎧
⎨
⎩
𝑖𝑚ω
2ℏ sin ω𝑇
[(𝑥
2
𝑎
+𝑥
2
𝑏
) cos ω𝑇-2𝑥
𝑎
𝑥
𝑏
]
⎫
⎬
⎭
,
(3.59)
где 𝑇=𝑡𝑏-𝑡𝑎 (см. задачу 2.2). Отметим, что вид функции 𝐹(𝑇) полностью не определяется. Его можно найти, исходя из других соображений; в случае гармонического осциллятора он равен
𝐹(𝑇)=
⎧
⎪
⎩
𝑚ω
2π𝑖ℏ sin ω𝑇
⎫½
⎪
⎭
.
(3.60)
Задача 3.9. Найдите ядро для частицы во внешнем постоянном поле 𝑓, где её лагранжиан равен
𝐿=
𝑚
2
𝑥̇²+𝑓𝑥.
(3.61)
Результат имеет вид
𝐾=
⎧
⎪
⎩
𝑚
2π𝑖ℏ𝑇
⎫½
⎪
⎭
exp
⎧
⎨
⎩
𝑖
ℏ
⎡
⎢
⎣
𝑚(𝑥𝑏-𝑥𝑎)²
2𝑇
+½𝑓𝑇(𝑥
𝑎
+𝑥
𝑏
)-
𝑓𝑇³
24
⎤
⎥
⎦
⎫
⎬
⎭
,
(3.62)
где 𝑇=𝑡𝑏-𝑡𝑎.
Задача 3.10. Лагранжиан для частицы с зарядом 𝑒 и массой 𝑚 в постоянном внешнем магнитном поле 𝐵, направленном по оси 𝑧,
𝐿=
𝑚
2
(𝑥̇²+𝑦̇²+𝑧̇²)+
𝑒𝐵
2𝑐
(𝑥𝑦̇-𝑦𝑥̇).
(3.63)
Покажите, что соответствующее ядро имеет вид
𝐾=
⎧
⎪
⎩
𝑚
2π𝑖ℏ𝑇
⎫
⎪
⎭
3/2
ω𝑇/2
sin ω𝑇/2
exp
⎧
⎪
⎩
𝑖𝑚ω
2ℏ
⎧
⎨
⎩
(𝑧𝑏-𝑧𝑎)²
𝑇
+
+
ω
2
ctg
ω𝑇
2
[(𝑥
𝑏
-𝑥
𝑎
)²+
(𝑦
𝑏
-𝑦
𝑎
)²]+
ω(𝑥
𝑎
𝑦
𝑏
-
𝑥
𝑏
𝑦
𝑎
)
⎫
⎬
⎭
⎫
⎪
⎭
,
(3.64)
где 𝑇=𝑡𝑏-𝑡𝑎 и ω=𝑒𝐵/𝑚𝑐.
Задача 3.11. Предположим, что гармонический осциллятор в задаче 3.8 возмущается внешней силой 𝑓(𝑡). Его лагранжиан
𝐿=
𝑚
2
𝑥̇²-
𝑚ω²
2
𝑥²+
𝑓(𝑡)𝑥.
(3.65)
Покажите, что ядро определяется выражением
𝐾=
⎧
⎪
⎩
𝑚ω
2π𝑖ℏ sin ω𝑇
⎫½
⎪
⎭
exp
⎧
⎪
⎩
𝑖
ℏ
𝑆
кл
⎫
⎪
⎭
,
где
𝑆
кл
=
𝑚ω
2 sin ω𝑇
⎡
⎢
⎣
(cos ω𝑇)(𝑥
2
𝑏
+𝑥
2
𝑎
)-2𝑥
𝑏
𝑥
𝑎
+
+
2𝑥𝑏
𝑚ω
𝑡𝑏
∫
𝑡𝑎
𝑓(𝑡) sin ω(𝑡-𝑡
𝑎
)𝑑𝑡+
2𝑥𝑎
𝑚ω
𝑡𝑏
∫
𝑡𝑎
𝑓(𝑡) sin ω(𝑡
𝑏
-𝑡)𝑑𝑡-
-
2
𝑚²ω²
𝑡𝑏
∫
𝑡𝑎
𝑡
∫
𝑡𝑎
𝑓(𝑡)𝑓(𝑠) sin ω
(𝑡
𝑏
-𝑡) sin ω
(𝑠-𝑡
𝑎
)
𝑑𝑠𝑑𝑡
⎤
⎥
⎦
(3.66)
и 𝑇=𝑡𝑏-𝑡𝑎.
