Последний результат имеет большое значение для многих прикладных задач. В частности, он находит своё применение в квантовой электродинамике, так как электромагнитное поле может быть представлено в виде набора возмущаемых гармонических осцилляторов.
Задача 3.12. Если волновая функция гармонического осциллятора при 𝑡=0
ψ(𝑥,0)=exp
⎡
⎢
⎣
-
𝑚ω
2ℏ
(𝑥-𝑎)²
⎤
⎥
⎦
,
(3.67)
то, используя соотношение (3.42) и результаты задачи 3.8, покажите, что
ψ(𝑥,𝑡)=exp
⎧
⎨
⎩
-
𝑖ω𝑇
2
-
𝑚ω
2ℏ
⎡
⎢
⎣
𝑥²-2𝑎𝑥𝑒
-𝑖ω𝑇
+½𝑎²(1+𝑒
-2𝑖ω𝑇
)
⎤
⎥
⎦
⎫
⎬
⎭
(3.68)
и найдите распределение вероятности |ψ|².
§ 7. Системы с многими переменными 1)
1) См. работу[4].
Предположим, что система имеет несколько степеней свободы. Ядро, соответствующее такой системе, можно представить в виде (2.25), где символ 𝑥(𝑡) обозначает сейчас не одну, а сразу несколько координат.
В качестве первого примера мы рассмотрим трёхмерное движение частицы, когда траектория определяется тремя функциями 𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡) и 𝑧(𝑡). В частности, для свободной частицы действие равно
𝑚
2
𝑡𝑏
∫
𝑡𝑎
[𝑥̇(𝑡)²+
𝑦̇(𝑡)²+
𝑧̇(𝑡)²]
𝑑𝑡.
Ядро, описывающее переход из некоторой начальной точки (𝑥𝑎, 𝑦𝑎, 𝑧𝑎) в момент времени 𝑡𝑎 в конечную точку (𝑥𝑏, 𝑦𝑏, 𝑧𝑏) и момент времени 𝑡𝑎,
𝐾(
𝑥
𝑏
, 𝑦
𝑏
, 𝑧
𝑏
, 𝑡
𝑏
;
𝑥
𝑎
, 𝑦
𝑎
, 𝑧
𝑎
, 𝑡
𝑎
)=
=
𝑏
∫
𝑎
exp
⎧
⎨
⎩
⎡
⎢
⎣
𝑖
ℏ
𝑡𝑏
∫
𝑡𝑎
𝑚
2
(𝑥̇²+
𝑦̇²+
𝑧̇²)
𝑑𝑡
⎤
⎥
⎦
⎫
⎬
⎭
𝒟𝑥(𝑡)𝒟𝑦(𝑡)𝒟𝑧(𝑡).
(3.69)
Дифференциал здесь записан в виде 𝒟𝑥(𝑡)𝒟𝑦(𝑡)𝒟𝑧(𝑡). Если время разделено на промежутки ε, то положение частицы в момент времени 𝑡𝑖 задаётся тремя переменными 𝑥𝑖, 𝑦𝑖, 𝑧𝑖 и интеграл по переменным 𝑑𝑥𝑖, 𝑑𝑦𝑖, 𝑑𝑧𝑖 для каждого значения 𝑖 имеет вид, аналогичный выражению (2.22). (Если представлять положение частицы вектором 𝑟 в некотором 𝑠-мерном пространстве, то дифференциал в каждой точке равен элементу объёма 𝑑𝑣𝑖 или 𝑑𝑠𝑟𝑖, и произведение дифференциалов для каждого 𝑖 мы можем записать в более общем виде 𝒟𝑠𝑟𝑖.
Если используется определение (2.22), то в каждом временном интервале для каждой из переменных должен быть введён нормировочный множитель 𝐴 [см. формулу (2.21)]. Поэтому если весь интервал времени разделён на 𝑁 промежутков длительностью ε, то в интеграл должен быть включён множитель 𝐴-3𝑁.
Ещё один пример ситуации с несколькими переменными дают две взаимодействующие системы. Предположим, что одна система представляет собой частицу массой 𝑚, координата которой 𝑥, а другая система — частицу массой 𝑀 и с координатой 𝑋. Допустим, что эти две системы взаимодействуют посредством потенциала 𝑉(𝑥,𝑋). Действие в этом случае равно
𝑆[𝑥(𝑡),𝑋(𝑡)]=
𝑡𝑏
∫
𝑡𝑎
⎡
⎢
⎣
𝑚
2
𝑥̇²+
𝑀
2
𝑋̇²-
𝑉(𝑥,𝑋)
⎤
⎥
⎦
𝑑𝑡,
(3.70)
так что ядро имеет вид
𝐾(
𝑥
𝑏
, 𝑋
𝑏
, 𝑡
𝑏
;
𝑥
𝑎
, 𝑋
𝑎
, 𝑡
𝑎
)=
=
𝑏
∫
𝑎
𝑏
∫
𝑎
⎧
⎪
⎩
exp
⎧
⎨
⎩
𝑖
ℏ
𝑆[𝑥(𝑡),𝑋(𝑡)]
⎫
⎬
⎭
⎫
⎪
⎭
𝒟𝑥(𝑡)𝒟𝑋(𝑡).
(3.71)
Это обобщение соотношения (2.25) можно истолковать математически как движение точки в некотором абстрактном двумерном пространстве 𝑥, 𝑋. Однако значительно легче представлять это движение физически, рассматривая его как движение двух отдельных частиц, координаты которых соответственно 𝑥 и 𝑋. Тогда 𝐾 является ядром для перехода частицы массы 𝑚 из пространственно-временной точки (𝑥𝑎,𝑡𝑎) в точку (𝑥𝑏,𝑡𝑏) и частицы массы 𝑀 из точки (𝑋𝑎,𝑡𝑎) в точку (𝑋𝑏,𝑡𝑏). Ядро 𝐾 равно в этом случае сумме амплитуд вероятности, взятой по всем возможным траекториям обеих частиц между соответствующими конечными точками. Амплитуда вероятности, отвечающая какой-либо частной комбинации траекторий (т.е. определённым 𝑥 и 𝑋), равна экспоненте 𝑒𝑖𝑆/ℏ, где 𝑆 — действие, определяемое выражением (3.70). С математической точки зрения амплитуда вероятности представляет собой функционал от двух независимых переменных 𝑥 и 𝑋, и интеграл берётся по обеим этим функциям.
§ 8. Системы с разделяющимися переменными
Допустим, что у нас имеются две частицы, которые движутся в одном или, быть может, нескольких измерениях. Пусть вектор 𝐱 — совокупность координат одной частицы, а вектор 𝐗 — совокупность координат другой (все, как и в предыдущем параграфе, с той лишь разницей, что описание переносится теперь на трёхмерное пространство). Может оказаться, что полное действие разбивается на две части:
𝑆[𝐱,𝐗]=
𝑆
𝑥
[𝐱]+
𝑆
𝑋
[𝐗],
(3.72)
где в 𝑆𝑥 входят только траектории 𝐱(𝑡), а в 𝑆𝑋 — только траектории 𝐗(𝑡). Это и есть тот случай, когда две частицы не взаимодействуют.
При этом ядро становится произведением двух сомножителей: одного, зависящего только от 𝐱, и другого, зависящего только от 𝐗:
𝐾(
𝐱
𝑏
, 𝐗
𝑏
, 𝑡
𝑏
;
𝐱
𝑎
, 𝐗
𝑎
, 𝑡
𝑎
)=
=
𝑏
∫
𝑎
𝑏
∫
𝑎
⎧
⎪
⎩
exp
⎧
⎨
⎩
𝑖
ℏ
{𝑆
𝑥
