[𝐱]+𝑆
𝑋
[𝐗]}
⎫
⎬
⎭
⎫
⎪
⎭
𝒟³𝐱(𝑡)𝒟³𝐗(𝑡)=
=
𝑏
∫
𝑎
⎧
⎪
⎩
exp
⎧
⎨
⎩
𝑖
ℏ
𝑆
𝑥
[𝐱]
⎫
⎬
⎭
⎫
⎪
⎭
𝒟𝐱(𝑡)
𝑏
∫
𝑎
⎧
⎪
⎩
exp
⎧
⎨
⎩
𝑖
ℏ
𝑆
𝑋
[𝐗]
⎫
⎬
⎭
⎫
⎪
⎭
𝒟𝐗(𝑡)=
=
𝐾
𝑥
(
𝐱
𝑏
, 𝑡
𝑏
;
𝐱
𝑎
, 𝑡
𝑎
)
𝐾
𝑋
(
𝐗
𝑏
, 𝑡
𝑏
;
𝐗
𝑎
, 𝑡
𝑎
).
(3.73)
Ядро 𝐾𝑥 здесь вычисляется так же, как если бы имелась только одна частица с координатой 𝐱, и аналогичным образом определяется ядро 𝐾𝑋. Таким образом, в случае двух независимых невзаимодействующих систем амплитуда вероятности события с участием обеих систем представляет собой произведение двух не связанных друг с другом ядер. Они-то и являются теми ядрами, которые указывают на вклад этих частиц в полное событие.
В случае нескольких частиц волновая функция ψ(𝐱,𝐗,…,𝑡) определяется прямо по аналогии с соответствующим ядром и интерпретируется как амплитуда вероятности того, что в момент времени 𝑡 одна частица находится в точке 𝑥, другая — в точке 𝐗 и т.д. Квадрат модуля этой волновой функции представляет собой вероятность того, что одна частица находится в точке 𝐱, другая—в точке 𝐗 и т. д. Соотношение (3.42), справедливое в одномерном случае, можно сразу же обобщить:
ψ(𝐱,𝐗,…,𝑡)
=
∫∫
𝐾
(𝐱,𝐗,…,𝑡;𝐱',𝐗',…,𝑡')×
×
ψ(𝐱',𝐗',…,𝑡')
𝑑𝐱'
𝑑𝐗'
,
(3.74)
где 𝑑𝐱' — произведение стольких дифференциалов, сколько координат имеет пространство 𝐱'.
Как уже упоминалось выше, в случае двух независимых частиц, описываемых совокупностями координат 𝐱 и 𝐗, ядро 𝐾 является произведением двух функций, одна из которых зависит от 𝐱 и 𝑡, а другая же — от 𝐗 и 𝑡. Тем не менее это вовсе не означает, что волновая функция ψ вообще есть такое произведение. В частном случае, когда в некоторый определённый момент времени ψ является произведением функции от 𝐱 на функцию от 𝐗, т.е. ψ=𝑓(𝐱)𝑔(𝐗), то она останется таковой и всегда. Поскольку ядро 𝐾 описывает независимое движение двух частиц, то каждый сомножитель будет изменяться, как и в случае одной отдельной подсистемы. Однако это лишь особый случай. Независимость частиц в настоящий момент вовсе не означает, что они всегда должны быть таковыми. В прошлом могло иметь место какое-то взаимодействие, которое приводило бы к тому, что функция ψ уже не будет простым произведением.
Если даже в первоначальной системе координат действие 𝑆 и не оказывается простой суммой, то часто имеется некоторое преобразование (как, например, переход в систему центра масс и выделение внутренних координат), которое разделит переменные. Поскольку в квантовой механике действие используется в том же самом виде, что и в классической физике, то любое преобразование, разделяющее переменные в классической системе, разделит их и в соответствующей квантовомеханической системе. Таким образом, часть огромного аппарата классической физики можно непосредственно использовать и в квантовой механике. Такие преобразования очень важны, так как иметь дело с системой нескольких переменных трудно. Разделение переменных позволяет свести сложную задачу к ряду более простых.
§ 9. Интеграл по траекториям как функционал
Если задача описывается более чем одной переменной и если разделить эти переменные невозможно, то анализ обычно становится очень трудным. Ниже мы рассмотрим приближённые методы, применяемые в этом случае; сейчас же изложим один очень сильный метод, который иногда удаётся применить. Рассмотрим ядро, заданное выражением (3.71). Более подробно его можно записать как
𝐾(𝑏,𝑎)
=
𝑏
∫
𝑎
𝑏
∫
𝑎
⎧
⎨
⎩
exp
⎡
⎢
⎣
𝑖
ℏ
𝑡𝑏
∫
𝑡𝑎
𝑚
2
𝑥̇²
𝑑𝑡+
𝑖
ℏ
𝑡𝑏
∫
𝑡𝑎
𝑀
2
𝑋̇²
𝑑𝑡+
+
𝑖
ℏ
𝑡𝑏
∫
𝑡𝑎
𝑉(𝑥,𝑋,𝑡)
⎤
⎥
⎦
⎫
⎬
⎭
𝒟𝑥(𝑡)𝒟𝑋(𝑡).
(3.75)
Предположим, что мы сначала выполнили интегрирование по траекториям 𝑋(𝑡). Результат формально можно записать в виде
𝐾(𝑏,𝑎)
=
𝑏
∫
𝑎
⎡
⎢
⎣
exp
⎧
⎪
⎩
𝑖
ℏ
𝑡𝑏
∫
𝑡𝑎
𝑚
2
𝑥̇²
𝑑𝑡
⎫
⎪
⎭
⎤
⎥
⎦
𝑇[𝑥(𝑡)]𝒟𝑥(𝑡),
(3.76)
где
𝑇[𝑥(𝑡)]
𝑏
∫
𝑎
⎧
⎪
⎩
exp
⎧
⎨
⎩
𝑖
ℏ
𝑡𝑏
∫
𝑡𝑎
𝑀
2
𝑋̇²+
𝑉(𝑥,𝑋,𝑡)
⎫
⎬
⎭
⎫
⎪
⎭
𝑑𝑡𝒟𝑋(𝑡).
(3.77)
Полученные выражения интерпретируются следующим образом. Интегрирование по всем траекториям, возможным для частицы 𝑋, даёт функционал 𝑇. Функционал является числом и его величина зависит от вида всей функции. Например, ограниченная кривой площадь 𝐴=∫𝑓(𝑦)𝑑𝑦 является функционалом этой кривой. Для того чтобы найти эту площадь, необходимо задать функцию (кривую). Функционал мы записываем в виде 𝐴[𝑓(𝑦)], чтобы показать, что 𝐴 зависит от функции 𝑓(𝑦). Мы не пишем 𝐴(𝑓(𝑦)), поскольку под такой записью можно понимать функцию от функции, т.е. считать, что 𝐴 зависит только от того, какое значение принимает 𝑓 в некоторой определённой точке 𝑦. Это не тот случай. Величина 𝐴[𝑓(𝑦)] зависит от вида всей функции 𝑓(𝑦), но не зависит непосредственно от 𝑦.
Функционал, определённый выражением (3.77), представляет собой амплитуду вероятности того, что под воздействием потенциала 𝑉 из точки 𝑋𝑎 в точку 𝑋𝑏 переходит лишь одна частица 𝑋. При вычислении этот потенциал берётся в предположении, что 𝑥 фиксировано, в то время как 𝑋 изменяется. Таким образом, это потенциал для частицы 𝑋, когда частица 𝑥 движется вдоль некоторой определённой траектории. Ясно, что амплитуда 𝑇 зависит от выбора траектории 𝑥(𝑡), поэтому мы и записываем её в виде функционала от 𝑥(𝑡). Полную амплитуду мы получим, просуммировав функционал, состоящий из произведения амплитуды 𝑇 на ядро, отвечающее свободной частице, по всем траекториям 𝑥(𝑡).
