𝒜(ℬχ)
=
𝒜(𝑏χ)
=
𝑏(𝒜χ)
=
𝑏𝑎χ
=
𝑎𝑏χ
.
(5.54)
Это справедливо, поскольку 𝑎 и 𝑏 — обычные числа, а не операторы. Точно так же
ℬ(𝒜χ)
=
ℬ(𝑎χ)
=
𝑎(ℬχ)
=
𝑎𝑏χ
.
(5.55)
Сравнение этих двух равенств доказывает коммутативность операторов ℬ и 𝒜, когда они действуют на какую-либо из функций χ𝑎,𝑏,𝑐,…. Так как оба эти оператора линейны (т.е. не содержат операций, требующих учёта высших степеней функции χ), то соотношение коммутации должно выполняться для любой линейной комбинации функций χ.
Если χ-функции образуют «полный набор» (что является для них типичным), то в общем случае любую функцию мы можем представить в виде суммы таких линейных комбинаций. Следовательно, если операторы 𝐴𝐵 и 𝐵𝐴 дают один и тот же результат при действии на произвольную функцию, это означает, что операторы 𝐴 и 𝐵 коммутируют.
Задача 5.12. Покажите, что пространственную координату 𝑥 и 𝑥-компоненту импульса 𝑝𝑥 нельзя измерить одновременно.
Возможны ситуации, когда набор коммутирующих операторов 𝒜, ℬ, 𝒞, … уже известен и требуется найти функции, которые им соответствуют (т.е. их собственные функции). Для этого нужно найти решения уравнений
𝒜χ=𝑎χ
,
ℬχ=𝑏χ
,
𝒞χ=𝑐χ
,
….
(5.56)
Предположим, например, что операторы 𝑥-й, 𝑦-й и 𝑧-й компонент импульса 𝑝𝑥, 𝑝𝑦 и 𝑝𝑧 определены соответственно как [(ℏ/𝑖)(∂/∂𝑥)], [(ℏ/𝑖)(∂/∂𝑦)], [(ℏ/𝑖)(∂/∂𝑧)]. Спрашивается, каковы собственные функции этого набора операторов, соответствующие состоянию, в котором 𝑝𝑥 имеет значение 𝑎, 𝑝𝑦 — значение 𝑏, а 𝑝𝑧 — значение 𝑐?
(Числа 𝑎, 𝑏, 𝑐, … являются здесь, конечно, собственными значениями.) Для этого мы должны решить уравнения
-
ℏ
𝑖
∂χ
∂𝑥
=𝑎χ,
-
ℏ
𝑖
∂χ
∂𝑦
=𝑏χ,
-
ℏ
𝑖
∂χ
∂𝑧
=𝑐χ.
(5.57)
С точностью до произвольного постоянного множителя решение этих уравнений имеет вид exp[(ℏ/𝑖)(𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐𝑧)] Это согласуётся с полученными выше выводами о том, что частица, имеющая данный импульс 𝐩, описывается волновой функцией exp(ℏ/𝑖)(𝐩⋅𝐫).
Разложение по собственным функциям оператора энергии. Различные выражения, содержащие собственные функции φ𝑛, могут быть теперь истолкованы гораздо полнее. Рассмотрим, например, разложение (4.59) ядра 𝐾 в ряд по функциям φ𝑛, являющимися решениями уравнения Шрёдингера с постоянным гамильтонианом:
𝐾(𝑥
2
,𝑡
2
;𝑥
1
,𝑡
1
)
=
∑
𝑛
φ
𝑛
(𝑥
2
)
φ
*
𝑛
(𝑥
1
)
exp
⎡
⎢
⎣
-
𝑖
ℏ
𝐸
𝑛
(𝑡
2
-𝑡
1
)
⎤
⎥
⎦
.
(5.58)
Прежде всего заметим, что функция φ𝑛(𝑥) является амплитудой вероятности обнаружения системы в положении 𝑥, если известно, что она находится в состоянии 𝑛. Поэтому в соответствии с нашими рассуждениями в § 2 гл. 5 сопряжённая ей функция φ*𝑛(𝑥) является амплитудой вероятности найти систему в состоянии 𝑛, если она занимает положение 𝑥. На основе этого попробуем интерпретировать выражение (5.58) следующим образом. Амплитуда вероятности перехода из положения 1, соответствующего моменту времени 𝑡1 в положение 2 в момент времени 𝑡2 выражается в виде суммы по всем возможным состояниям. В данном случае эти возможные состояния будут различными энергетическими состояниями, в которых может происходить переход. Следовательно, мы должны просуммировать по всем этим состояниям произведение следующих членов: 1) φ*𝑛(𝑥1) — амплитуды вероятности найти систему в точке 𝑥1 если известно, что она находится в состоянии 𝑛; 2) exp[-(𝑖/ℏ)𝐸𝑛(𝑡2-𝑡1)] — амплитуды вероятности найти систему в состоянии 𝑛 в момент времени 𝑡2, если в момент времени 𝑡1 она была в состоянии 𝑛1); 3) φ𝑛(𝑥2) — амплитуды вероятности найти систему в точке 𝑥2, если мы знаем, что она находится в состоянии 𝑛.
1) Эта амплитуда не связана с изменением состояния. В этом и заключено важное значение рассматриваемых нами функций φ𝑛.
Задача 5.13. Обсудите возможность интерпретации функции φ𝑛(𝑥) как функции χ𝑎,𝑏,𝑐,…(𝑥), рассмотренной в §2, т.е. покажите, что функция φ𝑛(𝑥) является преобразующей функцией для перехода от 𝑥-представления к представлению, определяемому числом 𝑛 (так называемому энергетическому представлению).
Глава 6
МЕТОД ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
В гл. 3 мы видели, как можно описать поведение квантовомеханической системы с помощью метода интегралов по траекториям, если в выражение функции действия 𝑆 входит потенциал, имеющий только квадратичные члены. Однако потенциалы, с которыми мы встречаемся при решении ряда важных задач квантовой механики, не имеют такого частного вида и не могут быть рассмотрены столь просто. В данной главе развивается приближённый метод, который позволит рассматривать такие более сложные потенциалы. Этот метод называется теорией возмущений и оказывается особенно полезным, когда потенциал относительно невелик (по сравнению, например, с кинетической энергией системы).
Хотя разложение в ряд теории возмущений может быть получено и строго математически, ему тем не менее интересно дать физическое истолкование, которое позволяет глубже понять поведение квантовомеханических систем.
В § 4 мы займёмся некоторыми приложениями теории возмущений. Например, рассмотрим движение электрона, рассеивающегося на атоме. Оказывается, что для описания взаимодействия, сопровождающего рассеяние, полезно использовать классическое понятие поперечного сечения рассеяния, т.е. понятие эффективной площади атома-мишени по отношению к рассеивающемуся электрону. Хотя это сечение связано с реальными размерами атома, мы покажем, что оно определяется также и квантовомеханическими свойствами взаимодействующих систем.
§ 1. Ряд теории возмущений
Члены ряда. Предположим, что частица движется под действием потенциала 𝑉(𝑥,𝑡). Ограничимся пока одномерным движением. Тогда ядро, соответствующее переходу между точками 𝑎 и 𝑏, будет иметь вид
𝐾
𝑉
(𝑏,𝑎)
=
𝑏
∫
𝑎
⎧
⎪
⎩
exp
⎧
⎨
⎩
𝑖
ℏ
𝑡𝑏
∫
𝑡𝑎
⎡
⎢
⎣
𝑚
2
𝑥̇²
-
𝑉(𝑥𝑡)
⎤
⎥
⎦
𝑑𝑡
⎫
⎬
⎭
⎫
