⎪
⎭
𝒟𝑥(𝑡)
.
(6.1)
Индекс 𝑉 в обозначении 𝐾𝑉 отражает тот факт, что на частицу действует потенциал 𝑉. Отсюда обозначение 𝐾0 будет относиться к ядру, описывающему движение свободной частицы.
В некоторых случаях ядро 𝐾𝑉 может быть определено с помощью уже изученных методов. Например, в гл. 3 мы вычислили ядро для гармонического осциллятора, на который действует внешняя сила 𝑓(𝑡). Потенциал в этом случае имеет вид
𝑉(𝑥,𝑡)
=
𝑚
2
ω²𝑥²-𝑥𝑓(𝑡)
(6.2)
[см. лагранжиан (3.65)]. В общем случае, когда потенциал квадратичен по переменной 𝑥, ядро может быть вычислено точно; наряду с этим при достаточно медленном изменении потенциала оказывается хорошо применимым квазиклассическоеприближение. Известны также некоторые другие типы потенциалов, которые удобно рассматривать с помощью уравнения Шрёдингера. Теперь обратимся к изучению самих разложений, которые часто оказываются полезными при малых возмущающих потенциалах.
Пусть потенциал действительно мал; более точно предположим, что мал по сравнению с величиной ℏ интеграл по времени от потенциала вдоль траектории. Тогда та часть экспоненциального члена в подынтегральном выражении (6.1), которая зависит от 𝑉(𝑥,𝑡), может быть разложена в ряд
exp
⎡
⎢
⎣
-
𝑖
ℏ
𝑡𝑏
∫
𝑡𝑎
𝑉(𝑥,𝑡)
𝑑𝑡
⎤
⎥
⎦
=
1-
𝑖
ℏ
𝑡𝑏
∫
𝑡𝑎
𝑉(𝑥,𝑡)
𝑑𝑡
+
+
1
2!
⎧
⎪
⎩
𝑖
ℏ
⎫²
⎪
⎭
⎡
⎢
⎣
𝑡𝑏
∫
𝑡𝑎
𝑉(𝑥,𝑡)
𝑑𝑡
⎤²
⎥
⎦
+…,
(6.3)
который определён для некоторой частной траектории 𝑥(𝑡). Подставляя это разложение в (6.1), получаем
𝐾
𝑉
(𝑏,𝑎)
=
𝐾
0
(𝑏,𝑎)
+
𝐾
(1)
(𝑏,𝑎)
+
𝐾
(2)
(𝑏,𝑎)
+…,
(6.4)
где
𝐾
0
(𝑏,𝑎)
=
𝑏
∫
𝑎
⎡
⎢
⎣
exp
⎧
⎪
⎩
𝑖
ℏ
𝑡𝑏
∫
𝑡𝑎
𝑚𝑥̇²
2
𝑑𝑡
⎫
⎪
⎭
⎤
⎥
⎦
𝒟𝑥(𝑡)
,
(6.5)
𝐾
(1)
(𝑏,𝑎)
=-
𝑖
ℏ
𝑏
∫
𝑎
⎡
⎢
⎣
exp
⎧
⎪
⎩
𝑖
ℏ
𝑡𝑏
∫
𝑡𝑎
𝑚𝑥̇²
2
𝑑𝑡
⎫
⎪
⎭
⎤
⎥
⎦
𝑡𝑏
∫
𝑡𝑎
𝑉[𝑥(𝑠),𝑠]
𝑑𝑆
𝒟𝑥(𝑡)
,
(6.6)
𝐾
(2)
(𝑏,𝑎)
=-
1
2ℏ²
𝑏
∫
𝑎
⎡
⎢
⎣
exp
⎧
⎪
⎩
𝑖
ℏ
𝑡𝑏
∫
𝑡𝑎
𝑚𝑥̇²
2
𝑑𝑡
⎫
⎪
⎭
⎤
⎥
⎦
𝑡𝑏
∫
𝑡𝑎
𝑉[𝑥(𝑠)]
𝑑𝑠
×
×
𝑡𝑏
∫
𝑡𝑎
𝑉[𝑥(𝑠'),𝑠']
𝑑𝑠'
𝒟𝑥(𝑡)
(6.7)
и т.д.
Чтобы не перепутать временны'е переменные, по которым проводится интегрирование, мы обозначили их здесь через 𝑠, 𝑠' и т.п.
Вычисление членов ряда. Рассмотрим сначала ядро 𝐾(1). Для нас удобнее изменить порядок интегрирования по переменной 𝑥 и по траектории 𝑥(𝑡). Запишем
𝐾
(1)
(𝑏,𝑎)
=-
𝑖
ℏ
𝑡𝑏
∫
𝑡𝑎
𝐹(𝑠)
𝑑𝑠
,
(6.8)
где
𝐹(𝑠)
=
𝑏
∫
𝑎
⎡
⎢
⎣
exp
⎧
⎪
⎩
𝑖
ℏ
𝑡𝑏
∫
𝑡𝑎
𝑚𝑥̇²
2
𝑑𝑡
⎫
⎪
⎭
⎤
⎥
⎦
𝑉[𝑥(𝑠),𝑠]
𝒟𝑥(𝑡)
.
(6.9)
Интеграл по траектории 𝐹(𝑠) имеет следующий смысл: это амплитуда вероятности свободной частицы, просуммированная по всем траекториям. При этом каждая траектория входит сюда с весом, равным значению потенциала 𝑉[𝑥(𝑠),𝑠], вычисленного в момент времени 𝑠. Единственная характеристика траектории 𝑥(𝑡), от которой зависит потенциал 𝑉, — это положение траектории в некоторый момент времени 𝑡=𝑠. Другими словами, до и после этого момента 𝑠 содержащаяся в функционале 𝐹(𝑠) траектория совпадает с траекторией обычной свободной частицы. Все вышесказанное поясняет фиг. 6.1.
Фиг. 6.1. Движение с одним рассеянием.
Частица выходит из точки 𝑎 и двигается как свободная до точки 𝑐. Здесь на неё действует потенциал 𝑉𝑐=𝑉[𝑥(𝑠),𝑠], происходит рассеяние. После этого частица движется как свободная до точки 𝑏. Амплитуда, описывающая такое движение, даётся выражением (6.10). Если эту амплитуду проинтегрировать по всем возможным положениям точки 𝑐, то получим член первого порядка теории возмущений.
Основываясь на соображениях, аналогичных тем, которые мы использовали при выводе соотношения (2.31), разделим каждую траекторию на две части: часть, которая относится к моментам времени, предшествовавшим моменту 𝑡=𝑠, и часть, которая соответствует более позднему времени.
Для конкретности предположим, что каждая траектория проходит через точку 𝑥𝑐 именно в этот момент времени 𝑡=𝑠. Далее мы проинтегрируем по всем значениям 𝑥𝑐. Если точку 𝑥𝑐(𝑠) обозначить через 𝑐 (т.е. положить 𝑠=𝑡𝑐), то сумму по всем таким траекториям можно записать как 𝐾0(𝑏,𝑐)𝐾0(𝑐,𝑎). Это означает, что функционал 𝐹(𝑠)=𝐹(𝑡𝑐) можно представить в виде
