В нашем случае (для вакуумного состояния) эта трудность легко устранима. Предположим, что при измерении энергии мы выбираем различные начала отсчёта. Так как постоянная добавка ко всем энергиям не приводит ни к каким физическим эффектам, то произвольный выбор нулевого значения энергии не будет влиять на результаты любого проводимого нами эксперимента. Поэтому мы положим энергию вакуумного состояния равной нулю. Тогда полная энергия произвольного состояния электромагнитного поля определится формулой

𝐸

=

∑

𝑛

_𝑗

ℏω

_𝑗

,

^𝑗

(9.40)

где суммирование проводится по всем модам поля. К сожалению, в реальном случае нельзя отсчитывать энергию от совершенно произвольного значения. Энергия эквивалентна массе, а с массой связана гравитация. Даже на свет действуют гравитационные силы (например, луч света отклоняется притяжением Солнца). Следовательно, если закон равенства действия противодействию справедлив хотя бы качественно, то и Солнце должно притягиваться фотонами, а это значит, что с каждым фотоном, энергия которого равна ℏω, связано некоторое гравитационное поле. Тогда возникает вопрос: не приводит ли к такому же эффекту и член, соответствующий энергии основного состояния? Физически этот вопрос формулируется так: не образует ли вакуум гравитационного поля, подобного полю массы, распределённой с постоянной плотностью?

Так как большая часть пространства — вакуум, то эффект, обусловленный вакуумной энергией электромагнитного поля, был бы значителен. Мы можем оценить его величину. Предварительно заметим, что в квантовой электродинамике встречается ещё одна расходимость, отличная от рассматриваемой и устраняемая при помощи специального предположения, называемого правилом обрезания. Согласно этому правилу, моды с очень большими частотами (т.е. с очень малыми длинами волн) должны исключаться из рассмотрения. Мы действительно не знаем, выполняются ли законы электродинамики для длин волн, существенно меньших, чем наблюдаемые в настоящее время. К тому же сейчас есть достаточно оснований полагать, что эти законы нельзя распространить на всю коротковолновую область.

Математические выражения, которые довольно хорошо применимы при больших длинах волн, приводят к расходимостям в коротковолновой области. Предельные длины доступных нам сейчас волн имеют порядок комптоновской длины волны протона: ℏ/𝑀𝑐≈2⋅10^-14 см.

Возвращаясь к нашей оценке, допустим, что мы суммируем по всем волновым числам, меньшим некоторого предельного значения 𝑘_макс𝑀𝑐/ℏ. Заменяя приближённо сумму по состояниям на интеграл, получаем плотность энергии вакуумного состояния

𝐸₀

ед. объёма

=2

ℏ𝑐

2(2π)³

_𝑘макс

∫

⁰

𝑘

⋅

4π𝑘²

𝑑𝑘

=

ℏ𝑐𝑘

₄

^макс

8π

₂

(9.41)

(заметим, что множитель 2 появился вследствие того, что каждому значению 𝑘 отвечают две моды соответственно двум возможным поляризациям). Масса, эквивалентная этой энергии, получается делением на 𝑐², что даёт

𝑚₀

ед. объёма

=

2⋅10

¹⁵

г/см³

.

(9.42)

Можно было бы ожидать (по крайней мере так кажется на первый взгляд), что при такой плотности гравитационные эффекты велики, чего в действительности не наблюдается. Возможно, что наш расчёт слишком упрощённый, и если бы мы использовали все выводы общей теории относительности (такие, например, как гравитационные эффекты, обусловленные большими давлениями, которые здесь подразумеваются), гравитационные эффекты могли бы исчезнуть, однако все это никем ещё не проделано. Возможно, найдётся такое правило обрезания, которое не только даст конечную плотность энергии вакуумного состояния, но и позволит сделать это релятивистски-инвариантным образом. Сейчас совершенно не ясно, к чему все это приведёт.

Поэтому будем пока просто считать плотность энергии вакуумного состояния равной нулю. До сих пор не было ни одного эксперимента, который противоречил бы такому допущению. При дальнейшем изучении квантовой электродинамики нам встретятся интегралы с расходимостями других типов, причём устранение будет значительно сложнее.

Волновая функция вакуумного состояния. Волновая функция совокупности осцилляторов представляется в виде произведения всех волновых функций всех мод. Волновая функция основного состояния осциллятора, соответствующего фотону с поляризацией 1 и волновым числом 𝐤, пропорциональна экспоненте exp [-(𝑐𝑘/2ℏ)/𝑎*_1𝐤𝑎_1𝐤]. Поэтому с точностью до нормировочной постоянной волновая функция основного, или вакуумного, состояния всей системы равна

Φ

₀

= exp

⎡

⎢

⎣

-

∑

^𝐤

𝑘𝑐

2ℏ

(

𝑎

_*

^1𝐤

𝑎

^1𝐤

+

𝑎

_*

^2𝐤

𝑎

^2𝐤

)

⎤

⎥

⎦

.

(9.43)

Задача 9.6. Покажите, используя синусоидальные и косинусоидальные моды с действительными переменными, что последнее выражение, в которое входят комплексные переменные, действительно является справедливым (ср. задачу 8.4).

Задача 9.7. Покажите, что для вакуумного состояния среднее значение величины 𝑎*_1𝐤𝑎_1𝑙 равно (ℏ/2𝑘𝑐)δ_𝑘𝑙. Выведите формулу для среднего значения величины (𝑎*_1𝑘𝑎_1𝑘)^𝑟, где 𝑟 — целое число, и укажите, как, пользуясь этой формулой, получить среднее значение произведения (𝑎*_1𝑘𝑎_1𝑘)^𝑟 (𝑎*_1𝑝𝑎_1𝑝)^𝑠 при 𝐩≠𝐤. Покажите, что среднее значение величины (𝑎_1𝑘)² или (𝑎*_1𝑘)² и среднее значение произведения любого нечётного числа величин 𝐚 равны нулю. Покажите также, каким образом можно вычислить для вакуумного состояния ожидаемое значение любого произведения величин 𝑎 или 𝑎*.

Задача 9.8. Если состояние определяется единственным фотоном, который находится в состоянии 1𝐤, все множители в волновой функции имеют вид φ₀, за исключением одного, равного φ₁. Для осциллятора при этом выполняется равенство φ₁(𝑞)=𝑞φ₀(𝑞). Волновая функция, представляющая возбуждённую волну, записывается в виде линейной комбинации: 1) волновой функции состояния с возбуждённой косинусоидальной модой и 2) умноженной на 𝑖 волновой функции состояния с возбуждённой синусоидальной модой. Используя это, покажите, что волновая функция однофотонного состояния 1𝐤 имеет вид 𝑎*_1𝐤Φ₀. Она не нормирована. Квадрат нормировочной постоянной ∫Φ*₀𝑎_1𝐤𝑎*_1𝐤Φ₀ (или ожидаемое значение величины 𝑎_1𝐤𝑎*_1𝐤 для вакуума), как мы видели в предыдущей, задаче, есть ℏ/2𝑘𝑐. Отсюда следует, что нормированная волновая функция однофотонного состояния представляется в виде √2𝑘𝑐/ℏ𝑎*_1𝐤Φ₀.

§ 4. Взаимодействие поля с веществом

С формальной точки зрения взаимодействие поля излучения с веществом рассмотреть совсем не трудно. Функция действия, представленная формулами (9.30), (9.31) и (9.33), очевидно, соответствует взаимодействию материальной системы с осцилляторами поля излучения, и в этом случае амплитуду следует искать с помощью такого соотношения: