+

𝑗

_2,-𝐤

𝑎

_2𝐤

)

𝑑³𝐤𝑑𝑡

(2π)³

.

(9.32)

Простая вариация полного действия 𝑆 по переменным 𝑎_1𝐤 и 𝑎_2𝐤 даёт уравнения движения (9.21) и (9.22).

В развёрнутом виде действие 𝑆_взаим записывается так:

𝑆

_взаим

=

√

4π

∑

^𝑗

∫

(

𝑎

_1𝐤

𝑞̇

_1𝑗

+

𝑎

_2𝐤

𝑞̇

_2𝑗

)

𝑒

^{𝑖𝐤⋅𝐪_𝑗(𝑡)}

𝑑³𝐤𝑑𝑡

(2π)³

,

(9.33)

где 𝑞_1𝑗 и 𝑞_2𝑗 — поперечные (по отношению к вектору 𝐤) компоненты вектора 𝑞_𝑗. Таким образом, все законы нерелятивистской механики и классической электродинамики получаются из требования, чтобы действие 𝑆, представленное суммой выражений (9.30), (9.31) и (9.33), оставалось неизменным при вариациях вдоль траекторий, заданных переменными 𝐪_𝑗(𝑡), 𝑎_1𝐤(𝑡), 𝑎_2𝐤(𝑡). Переход к квантовой электродинамике осуществляется путём интегрирования по этим траекториям экспоненты 𝑒^𝑖𝑆/ℏ и рассматривается в § 2.

§ 2. Квантовая механика поля излучения

Наше рассмотрение мы начнём с квантовой механики поля излучения в пустом пространстве. В условиях вакуума полное действие содержит лишь часть, связанную с полем излучения

𝑆

=

𝑆

_поле

(9.34)

которая имеет вид (9.31) и, очевидно, соответствует действию 𝑆 для совокупности гармонических осцилляторов. В гл. 8 уже рассматривался ряд примеров с выражениями типа (9.31).

Предположим, что к квантовой электродинамике можно перейти, рассмотрев эти осцилляторы как квантовомеханические; справедливость такого допущения тоже обсуждалась нами в гл. 8. Каждому значению 𝐤 в нашей системе соответствуют две бегущие волны с поляризацией 1 и 2 и частотой ω=𝑘𝑐. Для каждой из этих волн (например, волны с амплитудой 𝑎_1𝐤) возможные энергетические уровни будут равны

𝐸

_1𝐤

=

⎧

⎪

⎩

𝑛

_1𝐤

+

1

2

⎫

⎪

⎭

ℏ𝑘𝑐

,

(9.35)

где 𝑛_1𝐤 — произвольное положительное целое число или нуль.

Если 𝑛_1𝐤=1, то говорят, что имеется один фотон с поляризацией 1 и импульсом ℏ𝑘. В общем случае мы имеем 𝑛_1𝐤 таких фотонов, и энергия каждого из них равна ℏ𝑘𝑐.

Задача 9.5. Пусть импульс электромагнитного поля задаётся в виде (1/4π𝑐)∫𝐄×𝐁𝑑(объём). Покажите, что в вакууме (при этом φ_𝐤=0 последнее выражение равно ∫𝐤(𝐚*_𝐤⋅𝐚̇_𝐤)𝑑³𝐤/(2π)³.

Позднее, при рассмотрении взаимодействия вещества с полем излучения, обнаружится, что вещество излучает или поглощает энергию отдельными фотонами с энергией ℏω. Это, очевидно, согласуется с первоначальной гипотезой Планка.

Тот факт, что 𝑛-е состояние осциллятора можно рассматривать как совокупность 𝑛 «частиц» или «фотонов», кажется очень поразительным и неожиданным; однако значения энергии в обоих описаниях совпадают. Вместе с тем существует одно обстоятельство, на которое стоит обратить внимание до того, как мы начнём описывать поведение совокупности частиц состояниями осциллятора. Допустим, что из всех чисел 𝑛_𝑗 отличны от нуля лишь два (например, 𝑛_𝑎=1, 𝑛_𝑏=1). Эту ситуацию мы вправе интерпретировать двумя фотонами, один из которых находится в состоянии 𝑎, а другой — в состоянии 𝑏. Однако при таком подходе существуют два допустимых описания, отвечающих одной и той же энергии; в самом деле, ничто не мешает нам считать, что первый фотон находится в состоянии 𝑏, а второй — в состоянии 𝑎. Чтобы найти выход из этого положения, рассмотрим конкретный пример. Пусть мы имеем две α-частицы, координаты которых обозначим соответственно через 𝑥 и 𝑦; состояние частицы 𝑥 будем описывать функцией 𝑓(𝑥), а частицы 𝑦 — функцией 𝑔(𝑦). Тогда волновая функция системы выражалась бы функцией двух переменных: 𝑥 и 𝑦:

ψ(𝑥,𝑦)

=

𝑓(𝑥)

𝑔(𝑦)

.

(9.36)

Обратной ситуации, когда частица 𝑦 находится в состоянии 𝑓, а частица 𝑥 — в состоянии 𝑔, соответствует другая волновая функция:

ψ(𝑥,𝑦)

=

𝑔(𝑥)

𝑓(𝑦)

,

(9.37)

которая, вообще говоря, отличается от первой. Но если наши частицы полностью тождественны, как это имеет место в случае α-частиц, то эти два состояния неразличимы. Мы уже говорили в гл. 1, что в квантовой механике должно быть правило (не зависящее от уравнения Шрёдингера), согласно которому амплитуды для двух случаев, различающихся лишь перестановкой α-частиц, всегда следует суммировать. При этом система описывается единственной волновой функцией

ψ(𝑥,𝑦)

=

𝑓(𝑥)

𝑔(𝑦)

+

𝑔(𝑥)

𝑓(𝑦)

(9.38)

(нормированной соответствующим образом: если 𝑓 и 𝑔 ортонормальны, то нормировочная константа равна 1/√2; если же они равны и нормированы, то эта константа равна ½). Вообще ψ(𝑥,𝑦)=ψ(𝑦,𝑥) для α-частиц и всех других частиц, подчиняющихся статистике Бозе. Система двух таких частиц всегда описывается единственным образом, и при этом не различается, какая именно из них находится в состоянии 𝑓, а какая в состоянии 𝑔.

Нетрудно видеть, что все наши выводы согласуются между собой, если мы будем рассматривать набор возбуждённых состояний осциллятора как набор фотонов, а сами фотоны считать бозе-частицами. Тогда единичное состояние 𝑛_𝑎=1, 𝑛_𝑏=1 соответствует ситуации, когда имеются два фотона — один в состоянии 𝑎, а другой в состоянии 𝑏. Их перестановка не приводит к новому состоянию.

Для электронов с параллельными спинами или для других тождественных ферми-частиц амплитуды, наоборот, вычитаются:

ψ(𝑥,𝑦)

=

𝑓(𝑥)

𝑔(𝑦)

-

𝑔(𝑥)

𝑓(𝑦)

.

(9.39)

Волновая функция системы двух ферми-частиц всегда антисимметрична: ψ(𝑥,𝑦)=-ψ(𝑦,𝑥). Поэтому такая система не безразлична по отношению к перестановке частиц. В самом деле, если в формуле (9.39) положить 𝑓=𝑔, то получим ψ(𝑥,𝑦)=0. К фотонам и α-частицам это не относится; подобный случай у фотонов соответствует состояниям осциллятора с 𝑛=2.

Можно указать один частный случай, когда с помощью некоторой идеализации электромагнитное поле в присутствии вещества удаётся описать ненамного сложнее, чем поле в вакууме. Это случай полого резонатора (или волновода), стенки которого можно считать идеально проводящими. Как хорошо известно из классической теории, при этом возникает набор мод с более или менее сложным распределением электромагнитных полей. Классическая функция действия и в этом случае сводится к функции действия для совокупности свободных осцилляторов, но переменные здесь представляют собой амплитуды различных мод, а не амплитуды плоских бегущих волн. Далее эти осцилляторы квантуются, и можно говорить о числе фотонов, соответствующем каждой моде.

§ 3. Основное состояние

Энергия вакуума. Состояние электромагнитного поля с наинизшей возможной энергией, которое мы будем называть основным или вакуумным,— это состояние, в котором у всех осцилляторов все 𝑛 равны нулю и нет фотонов никаких мод. Это значит, что энергия каждого осциллятора равна ℏω/2, где ω — его собственная частота. Если теперь просуммировать эту энергию основного состояния по бесконечному числу всех возможных мод с возрастающей частотой (а число мод не ограничено даже для резонатора конечных размеров), то подобная сумма будет расходиться. Мы натолкнулись на первую из трудностей, которые появляются в квантовой электродинамике.