𝑆
=
𝑆
1
+𝑆
2
+𝑆
3
.
(9.23)
1) Следует указать, что ряд физиков применяет термин «квантовая электродинамика» в более широком смысле, включая в это понятие теорию электрон-позитронных пар. Мы не занимаемся этой проблемой и поэтому слова «квантовая электродинамика» означают здесь просто теорию квантования электромагнитного поля.
Здесь
𝑆
1
=
∑
𝑖
𝑚𝑖
2
∫
|𝐪̇
𝑖
|²
𝑑𝑡
(9.24)
— действие для всех частиц без учёта поля (если между частицами действуют и другие силы, кроме электромагнитных, их также следует включить в действие 𝑆1);
𝑆
2
=
∫
⎡
⎢
⎣
ρ(𝐑,𝑡)
φ(𝐑,𝑡)
-
1
𝑐
𝐣(𝐑,𝑡)
⋅
𝐀(𝐑,𝑡)
⎤
⎥
⎦
𝑑³𝐑
𝑑𝑡
=
=
∑
𝑖
𝑒
𝑖
∫
⎧
⎨
⎩
φ(𝐪
𝑖
(𝑡),𝑡)
-
1
𝑐
𝐪̇
𝑖
(𝑡)
⋅
𝐀(𝐪
𝑖
(𝑡),𝑡)
⎫
⎬
⎭
𝑑𝑡
(9.25)
— действие, описывающее взаимодействие поля и частиц;
𝑆
3
=
1
8π
∫
(𝐸²-𝐵²)
𝑑³𝐑
𝑑𝑡
=
=
1
8π
∫
⎡
⎢
⎣
⎪
⎪
⎪
-𝛁φ-
1
𝑐
∂𝐀
∂𝑡
⎪²
⎪
⎪
-
|𝛁×𝐀|²
⎤
⎥
⎦
𝑑³𝐑
𝑑𝑡
(9.26)
— действие свободного поля. В этих выражениях нужно варьировать функции 𝐀(𝐑,𝑡), φ(𝐑,𝑡) и 𝐪𝑖(𝑡).
Задача 9.4. В § 1 гл. 2 мы обсуждали вывод уравнений движения классической механики из условия экстремальности действия (δ𝑆=0 с точностью до первого порядка в разложении по δ𝑞). Покажите, что уравнения Максвелла можно вывести с помощью действия, заданного выражением (9.23), если потребовать выполнения условия δ𝑆=0 в первом порядке вариаций по переменным 𝐀 и φ.
Так как уравнения электродинамики имеют наиболее простой вид в переменных 𝐚𝐤, то удобно выразить и действие в этих переменных. Подстановка формулы (9.14) в выражение для действия 𝑆3 даёт
𝑆
3
=
1
2
∫
⎧
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
𝐚̇
𝐤
+
𝑖𝐤
φ𝐤
√4π
-𝑐²
|𝐤×𝐚
𝐤
|²
⎪²
⎪
⎪
⎫
⎪
⎭
𝑑³𝐤𝑑𝑡
(2π)³
=
=
1
2
∫
⎧
⎪
⎩
φ
2
𝐤
𝑘²
4π
+
𝐚̇
*
𝐤
⋅
𝐚̇
𝐤
-
𝑘²𝑐²
𝐚
*
𝐤
⋅
𝐚
𝐤
⎫
⎪
⎭
𝑑³𝐤𝑑𝑡
(2π)³
,
(9.27)
а действие 𝑆2 при этом принимает вид
𝑆
2
=
∫
(
ρ
-𝐤
φ
𝐤
-√
4π
𝐣
-𝐤
⋅
𝐚
𝐤
)
𝑑³𝐤𝑑𝑡
(2π)³
.
(9.29)
После подстановки в эти выражения фурье-образа потенциала φ𝐤=4πρ𝑘/𝑘² члены, содержащие φ𝐤, дают в сумме
𝑆
𝑐
=-
4π
2
∫
ρ𝐤ρ-𝐤
𝑘²
𝑑³𝐤
(2π)³
=-
1
2
∑
𝑖
∑
𝑗
𝑒𝑖𝑒𝑗
|𝐪𝑖-𝐪𝑗|
.
(9.29)
Здесь мы воспользовались формулой (9.16), а также значением интеграла ∫(4π/𝐤²)[exp(𝑖𝐤⋅𝐑)]𝑑³𝐤=1/𝑅. Выражение (9.29) в точности соответствует кулоновскому взаимодействию зарядов в том виде, как оно обычно применяется при рассмотрении атома, когда пренебрегают электромагнитным излучением.
Включим его в функцию действия для частиц
𝑆
част
=
𝑆
1
+
𝑆
𝑐
=
∫
∑
𝑖
⎧
⎪
⎩
𝑚𝑖
2
𝑞̇
2
𝑖
-
1
2
∑
𝑗
𝑒𝑖𝑒𝑗
|𝐪𝑖-𝐪𝑗|
⎫
⎪
⎭
(9.30)
и запишем 𝑆=𝑆част+𝑆взаим+𝑆поле. Таким образом мы разделили действие 𝑆3 для электромагнитного поля на две части. Одна из них описывает вклад, обусловленный мгновенным кулоновским взаимодействием; оставшуюся часть назовём действием 𝑆поле, которое соответствует полю излучения (учёт излучения обеспечивает все поправки к мгновенному полю, например поправки, связанные с запаздыванием суммарного воздействия электромагнитного поля и поправки на скорость распространения этого взаимодействия, которая не превышает скорости света). Действие, соответствующее полю излучения, получится, если из функции действия 𝑆3 выбросить члены, содержащие φ𝐤. В результате получим
𝑆
поле
=
∫
(
𝑎̇
*
1𝐤
𝑎̇
1𝐤
-
𝑘²𝑐²
𝑎
*
1𝐤
𝑎
1𝐤
+
𝑎̇
*
2𝑘
𝑎̇
2𝑘
-
𝑘²𝑐²
𝑎
*
2𝑘
𝑎
2𝑘
)
𝑑³𝐤𝑑𝑡
(2π)³
,
(9.31)
а это не что иное, как действие, описывающее осцилляторы поля излучения. Действие, обусловленное взаимодействием этих осцилляторов с частицами, равно
𝑆
взаим
=
√
4π
∫
(
𝑗
1,-𝐤
𝑎
1𝐤
