Если разложить вектор А в ряд по бегущим плоским волнам
𝐀(𝐑,𝑡)
=
𝐚
𝐤
(𝑡)
𝑒
𝑖𝐤⋅𝐑
(9.12)
то уравнение для амплитуды 𝐚𝐤 запишется как 𝐚̈𝐤; отсюда следует, что каждая компонента 𝐚𝐤 — амплитуда простого гармонического осциллятора с частотой ω=𝑘𝑐. Однако в действительности существуют только две независимые поперечные волны, а компонента вектора 𝐚𝐤 в направлении 𝐤 должна быть равна нулю. Это следует из уравнения (9.8), которое можно переписать в виде
𝐤⋅𝐚
𝐤
=0.
(9.13)
Таким образом, поле в вакууме можно представить как совокупность свободных гармонических осцилляторов, причём каждому значению 𝐤 будут соответствовать две поперечные волны.
Задача 9.1. Покажите, что в плоской волне векторы 𝐄, 𝐁 и 𝐤 взаимно перпендикулярны.
Решение уравнений Максвелла при наличии зарядов и токов. Разложим опять потенциалы 𝐀 и φ, а также плотности заряда и тока по плоским волнам:
𝐀(𝐑,𝑡)
=
√
4π
𝑐
∫
𝐚
𝐤
(𝑡)
𝑒
𝑖𝐤⋅𝐑
𝑑³𝐤
(2π)³
,
φ(𝐑,𝑡)
=
∫
φ
𝐤
(𝑡)
𝑒
𝑖𝐤⋅𝐑
𝑑³𝐤
(2π)³
,
𝐣(𝐑,𝑡)
=
∫
𝐣
𝐤
(𝑡)
𝑒
𝑖𝐤⋅𝐑
𝑑³𝐤
(2π)³
,
ρ(𝐑,𝑡)
=
∫
ρ
𝐤
(𝑡)
𝑒
𝑖𝐤⋅𝐑
𝑑³𝐤
(2π)³
,
(9.14)
Задача 9.2. Объясните, почему плотность заряда, соответствующая единичному заряду 𝑒, находящемуся в точке 𝐪(𝑡) в момент времени 𝑡, имеет вид
ρ(𝑥,𝑦,𝑧,𝑡)
=
𝑒
δ[𝑥-𝑞
𝑥
(𝑡)]
δ[𝑦-𝑞
𝑦
(𝑡)]
δ[𝑧-𝑞
𝑧
(𝑡)]
=
𝑒
δ³[𝐑-𝐪(𝑡)]
.
Покажите, что фурье-образ плотности заряда
ρ
𝑘
=
𝑒
𝑒
𝑖𝐤⋅𝐪(𝑡)
.
(9.15)
Легко видеть, что плотность тока 𝐣(𝐑,𝑡) равна 𝑒𝐪̇(𝑡)δ³[𝐑-𝐪(𝑡)]. Если мы имеем систему зарядов 𝑒𝑖, расположенных в точках 𝐪𝑖(𝑡), то выражения для ρ𝐤 и 𝐣𝐤 запишутся в виде
ρ
𝐤
=
∑
𝑖
𝑒
𝑖
𝑒
-𝑖𝐤⋅𝐪𝑖(𝑡)
,
𝐣
𝐤
=
∑
𝑖
𝑒
𝑖
𝐪̇(𝑡)
𝑒
-𝑖𝐤⋅𝐪𝑖(𝑡)
.
(9.16)
При этом условие (9.13) остаётся справедливым, и им можно воспользоваться для упрощения некоторых выражений. Коэффициент разложения вектора 𝐁 равен 𝐁𝐤=√4π𝑐𝑖(𝐤×𝐚𝐤), соответствующий коэффициент для вектора 𝐄 равен 𝐄𝐤=-𝑖𝐤φ𝐤-√4π𝐚̇𝐤, наконец, коэффициент разложения 𝛁⋅𝐄 имеет вид 𝑖𝐤⋅𝐄𝐤=𝑘²φ𝑘, поэтому
𝑘²φ
𝑘
=
4πρ
𝑘
(9.17)
или φ𝑘=4πρ𝑘/𝑘². Функция φ𝑘 полностью определяется плотностью заряда ρ𝑘, и при этом нет необходимости решать какие-либо динамические дифференциальные уравнения, содержащие, например, φ̈𝐤.
Задача 9.3. Докажите, что соотношение φ𝑘=4πρ𝑘/𝑘² означает следующее: величина φ𝑘 в любой момент времени 𝑡 представляет собой кулоновский потенциал от всех зарядов в этот момент; так что, если, например, плотность ρ соответствует некоторой совокупности зарядов 𝑒𝑖, отстоящих на расстояние 𝑟𝑖 от некоторой точки, то потенциал φ в этой точке равен
∑
𝑒
𝑖
/𝑟
𝑖
.
𝑖
Именнов этом и заключается смысл уравнения (9.10).
Уравнение (9.3), которое нужно ещё решить, запишем в виде
𝑖𝐤×𝐁
𝐤
=
1
𝑐
𝐄̇
𝐤
+
1
𝑐
4π
𝐣
𝐤
.
(9.18)
При этом учтём, что 𝑖𝐤×𝐁𝐤 = -√4π𝑐𝐤×(𝐤×𝐚𝐤) = √4π𝑐𝑘²𝐚𝐤 и 𝐄̇𝐤 = -𝑖𝐤φ̇𝐤 -√4π𝐚̈𝐤. Далее, применив равенство (9.17), заменим φ̇𝐤 на 4πρ̇𝐤/𝑘² и будем иметь
𝐚̈
𝐤
+
𝑘²𝑐²
𝐚
𝐤
=
√
4π
⎧
⎪
⎩
𝐣
𝐤
-
𝑖𝐤ρ̇𝐤
𝑘²
⎫
⎪
⎭
=
√
4π
𝐣'
𝐤
,
(9.19)
где величину 𝐣'𝐤 = 𝐣𝐤-𝑖𝐤ρ̇𝐤/𝑘² можно назвать поперечной частью тока 𝐣𝐤. Из закона сохранения тока (9.6) следует, что ρ̇𝐤=-𝑖𝐤⋅𝑗𝐤, поэтому
𝐣'
𝐤
=
𝐣
𝐤
-
𝐤(𝐤⋅𝐣𝐤)
𝑘²
.
(9.20)
Последнее равенство означает, что 𝐣'𝐤 равно разности тока 𝐣𝐤 и его компоненты по направлению вектора 𝐤. Очевидно, 𝐤⋅𝐣'𝐤=0.
Мы, безусловно, существенно упростили уравнения Максвелла, и если не считать мгновенного кулоновского взаимодействия между частицами, то для каждого значения вектора 𝐤 вся картина свелась к уравнениям для двух поперечных волн. Амплитуда колебаний каждой волны описывается гармоническим осциллятором, на который действует сила, равная компоненте тока по соответствующему направлению. Другими словами, если выбрать два направления, перпендикулярных вектору 𝐤, и обозначить компоненты 𝐚𝐤 по этим направлениям как 𝑎1𝐤 и 𝑎2𝐤, то уравнения Максвелла запишутся в виде
𝑎̈
1𝐤
+
𝑘²𝑐²
𝑎
1𝐤
=
√
4π
𝑗
2𝐤
,
(9.21)
𝑎̈
2𝐤
+
𝑘²𝑐²
𝑎
2𝐤
=
√
4π
𝑗
2𝐤
,
(9.22)
где 𝑗1𝐤 и 𝑗2𝐤 — компоненты вектора тока 𝐣𝐤 по соответствующим направлениям (спрашивается, почему можно говорить о компонентах вектора 𝐣𝐤, а не вектора 𝐣'𝐤).
Принцип наименьшего действия. В квантовой электродинамике 1) предполагается, что описываемые уравнениями (9.21) и (9.22) осцилляторы являются квантовыми. Чтобы выполнить квантование, нужно записать принцип наименьшего действия, который даёт нам уравнения электромагнитного поля и уравнения движения частиц в этом поле. Определим полное действие как сумму
