𝑒
(𝑖/ℏ)𝐩𝑎⋅𝐫𝑐
𝑑³𝐫
𝑐
,
(6.62)
где 𝑟𝑏𝑐 — расстояние от конечной точки 𝑏 до переменной точки интегрирования 𝑐, а 𝑝 — абсолютная величина импульса электрона.
Предположив снова, что на небольших по сравнению с 𝑆𝑎 и 𝑆𝑏 расстояниях потенциал спадает до нуля, покажите, что выражение (6.62) может быть записано как
ψ(𝐑
𝑏
,𝑡
𝑏
)
=
𝑒
(𝑖/ℏ)𝐸𝑏𝑡𝑏
𝑒
(𝑖/ℏ)𝐩𝑎⋅𝐑𝑏
+
𝑓
𝑒(𝑖/ℏ)𝑝𝑅𝑏
𝑅𝑏
,
(6.63)
где амплитуда рассеяния 𝑓 следующим образом выражается через функцию 𝑣(𝑞):
𝑓
=
𝑚
2πℏ²
𝑣(𝐪)
(6.64)
[см. соотношение (6.35)].
Последний член формулы (6.63), функцию (𝑓/𝑅𝑏) exp (𝑖𝑝𝑅𝑏/ℏ), можно рассматривать как пространственную часть волновой функции рассеянных частиц. Она имеет вид сферической волны, расходящейся из центра рассеивающего атома. Для каждого определённого угла рассеяния амплитуда этой волны зависит от угла через функцию 𝑓, которая, как видно из формулы (6.64), изменяется в зависимости от величины передаваемого импульса 𝑞. Таким образом, полная волновая функция электронов после рассеяния может рассматриваться как сумма двух членов. Первый член представляет собой плоскую волну нерассеянных электронов exp (𝑖𝐩𝑎⋅𝐑𝑏/ℏ), второй член — сферическую волну рассеянных электронов, как показано на фиг. 6.10. Используя такой подход, выведите формулу для эффективного сечения σ.
Фиг. 6.10. Рассеяние электронного пучка на атомном ядре.
Пучок электронов можно представить в виде эквивалентной ему плоской волны, движущейся по направлению к атомному ядру, расположенному в точке 𝑅=𝑂. Правее этой точки большая часть пучка будет по-прежнему двигаться как невозмущённая плоская волна с импульсом 𝑝𝑎 Меньшая часть пучка рассеивается на ядре и расходится от точки 𝑂 в виде сферической волны. Поэтому суммарная интенсивность (т.е. число электронов) в некоторой точке 𝑏, определяемой радиусом-вектором 𝐑𝑏, состоит из двух частей. Одна из них представляет собой нерассеянный пучок, описываемый плоской волной exp (𝑖𝐩𝑎⋅𝐑𝑏/ℏ). Вторая — это рассеянная сферическая волна (1/𝑅𝑏) exp (𝑖𝑝𝑅𝑏/ℏ) с зависящей от углов амплитудой 𝑓. Комбинация этих двух волн определяет пространственную часть волновой функции пучка электронов после рассеяния.
Задача 6.14. С помощью метода, основанного на использовании волновых функций, рассмотрите рассеяние электрона на синусоидально осциллирующем поле, потенциал которого имеет вид
𝑉(𝑟𝑡)
=
𝑈(𝑟) const ω𝑡
.
(6.65)
Покажите, что в первом борновском приближении энергия расходящейся волны изменяется на величину, равную ±ω. Что дадут члены высших порядков?
§ 5. Возмущения, зависящие от времени, и амплитуды переходов
Амплитуда перехода. Теория возмущений оказывается особенно полезной, когда потенциал 𝑈, соответствующий невозмущённой задаче, не зависит от времени. Из соотношения (4.59) видно, что ядро в этом случае может быть разложено в ряд по собственным функциям φ𝑛 и собственным значениям невозмущённой задачи
𝐾
𝑈
(2,1)
=
∑
𝑛
φ
𝑛
(𝑥
2
)φ
*
𝑛
(𝑥
1
)
𝑒
(𝑖𝐸𝑛/ℏ)(𝑡2-𝑡1)
для 𝑡
2
>𝑡
1
(6.66)
(для простоты ограничимся случаем одномерного движения).
Рассмотрим теперь полученные ранее разложения ядра 𝐾𝑉(2,1), подставив в них выражение для 𝐾𝑈. Если выписать только два первых члена, то
𝐾
𝑉
(2,1)
=
∑
𝑛
φ
𝑛
(𝑥
2
)φ
*
𝑛
(𝑥
1
)
𝑒
-(𝑖𝐸𝑛/ℏ)(𝑡2-𝑡1)
-
-
𝑖
ℏ
∑
𝑛
∑
𝑚
∫
φ
𝑚
(𝑥
2
)φ
*
𝑚
(𝑥
3
)
𝑉(𝑥
3
,𝑡
3
)
𝑒
-(𝑖𝐸𝑛/ℏ)(𝑡2-𝑡3)
φ
𝑛
(𝑥
3
)
×
×
φ
*
𝑛
(𝑥
1
)
𝑒
-(𝑖𝐸𝑛/ℏ)(𝑡3-𝑡1)
𝑑𝑥
3
𝑑𝑡
3
+… .
(6.67)
Ясно, что в каждом члене разложения переменная 𝑥1 входит лишь через волновую функцию φ*𝑚(𝑥1); аналогичным образом входит и переменная 𝑥2, поэтому ядро 𝐾𝑉 мы всегда можем записать в виде
𝐾
𝑉
(2,1)
=
∑
𝑛
∑
𝑚
λ
𝑚𝑛
(𝑡
2
,𝑡
1
)
φ
𝑚
(𝑥
2
)
φ
*
𝑛
(𝑥
1
)
,
(6.68)
где λ — коэффициенты, зависящие от 𝑡2 и 𝑡1. Будем называть эти коэффициенты амплитудами перехода. В нулевом порядке по 𝑉 ядро (6.68) должно совпадать с ядром 𝐾𝑈, так что в этом порядке λ𝑚𝑛=δ𝑚𝑛 exp [-(𝑖𝐸𝑛/ℏ)(𝑡2-𝑡1)]. Если коэффициенты λ разложить в ряд по возрастающим степеням потенциала 𝑉, то получим
λ
𝑚𝑛
=
δ
𝑚𝑛
𝑒
-(𝑖𝐸𝑛/ℏ)(𝑡2-𝑡1)
+λ
(1)
𝑚𝑛
+λ
(2)
𝑚𝑛
+… .
(6.69)
Сравнивая это выражение с формулой (6.67), получаем далее
λ
(1)
𝑚𝑛
=-
𝑖
ℏ
∞
∫
-∞
𝑡2
∫
𝑡1
φ
*
𝑚
(𝑥
3
)
𝑉(𝑥
3
