,𝑡
3
)
φ
𝑛
(𝑥
3
)
×
×
𝑑𝑥
3
exp
⎧
⎨
⎩
𝑖
ℏ
[𝐸
𝑚
(𝑡
3
-𝑡
2
)
-𝐸
𝑛
(𝑡
3
-𝑡
1
)]
⎫
⎬
⎭
𝑑𝑡
3
.
(6.70)
Задача 6.15. В задаче 5.4 мы определили некий интеграл как амплитуду перехода из состояния ψ(𝑥) в состояние χ(𝑥). Покажите, что функция λ𝑚𝑛 удовлетворяет этому определению, если начальное состояние описывается собственной функцией φ𝑛(𝑥), а конечное состояние — собственной функцией φ𝑚(𝑥).
Обозначим для краткости
𝑉
𝑚𝑛
(𝑡
3
)
=
∞
∫
-∞
φ
*
𝑚
(𝑥
3
)
𝑉(𝑥
3
,𝑡
3
)
φ
𝑛
(𝑥
3
)
𝑑𝑥
3
(6.71)
(эта величина иногда называется матричным элементом потенциала 𝑉, взятым между состояниями 𝑛 и 𝑚). Тогда формулу (6.70) можно записать в виде
λ
(1)
𝑚𝑛
=-
𝑖
ℏ
𝑒
-(𝑖/ℏ)𝐸𝑚𝑡2
𝑒
(𝑖/ℏ)𝐸𝑛𝑡1
𝑡2
∫
𝑡1
𝑉
𝑚𝑛
(𝑡
3
)
𝑒
(𝑖/ℏ)(𝐸𝑚-𝐸𝑛)𝑡3
𝑑𝑡
3
.
(6.72)
Мы получили важный результат нестационарной теории возмущений. Коэффициент λ𝑚𝑛 представляет собой амплитуду вероятности того, что в момент времени 𝑡2 система будет обнаружена в состоянии 𝑚, если первоначально она находилась в состоянии 𝑛.
Предположим, что волновая функция в момент времени 𝑡1 была равна φ𝑛(𝑥1). Спрашивается, какой она станет в момент времени 𝑡2? Используя соотношение (3.42), можно представить эту функцию в момент времени 𝑡2 как
∞
∫
-∞
𝐾
𝑉
(2,1)
φ
𝑛
(𝑥
1
)
𝑑𝑡
1
=
=
∑
𝑘
∑
𝑙
λ
𝑘𝑙
φ
𝑘
(𝑥
2
)
∞
∫
-∞
φ
*
𝑙
(𝑥
1
)
φ
𝑛
(𝑥
1
)
𝑑𝑡
1
=
∑
𝑘
λ
𝑘𝑛
φ
𝑘
(𝑥
2
)
.
(6.73)
Это означает, что волновая функция в момент времени 𝑡2 имеет вид
∑
𝑚
𝐶
𝑚
φ
𝑚
(𝑥
2
)
.
Такое разложение по собственным функциям впервые применялось в формуле (4.48). Теперь можно придать более глубокий смысл постоянным 𝐶𝑚, а именно интерпретировать их как амплитуды вероятности обнаружения системы в состояниях φ𝑚. В этом частном случае 𝐶𝑚 равно λ𝑚𝑛 и представляет собой амплитуду вероятности того, что в момент времени 𝑡2 система будет находиться в состоянии φ𝑚, если в момент времени 𝑡1 она была в состоянии φ𝑛.
Если система находится в состоянии 𝑛 и на неё не действует потенциал, то она будет всегда находиться в этом состоянии с амплитудой, которая изменяется со временем. Таким образом, в нулевом порядке λ𝑚𝑛 = δ𝑚𝑛 exp [-(𝑖𝐸𝑛/ℏ)(𝑡2-𝑡1)]. Член первого порядка мы можем интерпретировать в соответствии со следующим правилом (фиг. 6.11): амплитуда вероятности рассеяния из состояния 𝑛 в состояние 𝑚 за промежуток времени 𝑑𝑡 равна -(𝑖/ℏ)𝑉𝑚𝑛𝑑𝑡.
Фиг. 6.11. На систему, находящуюся вначале на 𝑛-м энергетическом уровне, действует потенциал 𝑉, который «рассеивает» систему во все возможные для неё состояния.
При этом амплитуда рассеяния в 𝑘-е состояние будет пропорциональна 𝑉𝑘𝑛. В частности, амплитуда рассеяния из состояния 𝑛 в состояние 𝑚 за время 𝑑𝑡 равна -(𝑖/ℏ)𝑉𝑚𝑛𝑑𝑡.
Задача 6.16. Интерпретируйте соотношение (6.71), рассмотрев его как сумму по всем альтернативам, т.е. укажите эти альтернативы.
Задача 6.17. Интерпретируйте формулу (6.72), объяснив значение каждого члена. После этого выведите и объясните смысл соответствующей формулы для коэффициента λ во втором порядке теории возмущений:
λ
(2)
𝑚𝑛
=-
1
ℏ²
𝑡2
∫
𝑡1
⎧
⎨
⎩
𝑡4
∫
𝑡1
∑
𝑘
exp
⎡
⎢
⎣
-
⎧
⎪
⎩
𝑖
ℏ
⎫
⎪
⎭
𝐸
𝑚
(𝑡
2
-𝑡
4
)
⎤
⎥
⎦
𝑉
𝑚𝑘
(𝑡
4
)
×
×
exp
⎡
⎢
⎣
-
⎧
⎪
⎩
𝑖
ℏ
⎫
⎪
⎭
𝐸
𝑘
(𝑡
4
-𝑡
3
)
⎤
⎥
⎦
𝑉
𝑘𝑛
(𝑡
3
)
exp
⎡
⎢
⎣
-
⎧
⎪
⎩
𝑖
ℏ
⎫
⎪
⎭
𝐸
𝑛
(𝑡
3
-𝑡
1
)
⎤
⎥
⎦
𝑑𝑡
3
⎫
⎬
⎭
𝑑𝑡
4
.
(6.74)
Задача 6.18. Получите и объясните интегральное уравнение
λ
𝑚𝑛
(𝑡
2
,𝑡
1
)
=
δ
𝑚𝑛
exp
⎡
⎢
⎣
-
⎧
⎪
⎩
𝑖
ℏ
⎫
⎪
⎭
𝐸
𝑚
(𝑡
2
