-𝑡
1
)
⎤
⎥
⎦
-
-
𝑖
ℏ
𝑡2
∫
𝑡1
exp
⎡
⎢
⎣
-
⎧
⎪
⎩
𝑖
ℏ
⎫
⎪
⎭
𝐸
𝑚
(𝑡
2
-𝑡
3
)
⎤
⎥
⎦
∑
𝑘
𝑉
𝑚𝑘
(𝑡
3
)
λ
𝑘𝑛
(𝑡
3
,𝑡
1
)
𝑑𝑡
3
.
(6.75)
Задача 6.19. Будем считать, что коэффициент λ𝑚𝑛(𝑡2) является функцией конечного момента времени 𝑡2. Покажите, используя уравнение (6.75) или ряд (6.69), что
𝑑
𝑑𝑡2
λ
𝑚𝑛
(𝑡
2
)
=-
𝑖
ℏ
∑
𝑘
exp
⎡
⎢
⎣
𝑖
ℏ
(𝐸
𝑚
-𝐸
𝑛
)𝑡
2
⎤
⎥
⎦
×
×
𝑉
𝑚𝑘
(𝑡
2
)
λ
𝑘𝑛
(𝑡
2
)
-
𝑖
ℏ
𝐸
𝑚
λ
𝑚𝑛
(𝑡
2
)
.
(6.76)
Дайте физическую интерпретацию этого результата. Затем получите этот результат непосредственно из уравнения Шрёдингера.
Замечание. Для этого следует воспользоваться формулой (6.73), подставив её в уравнение Шрёдингера.
Отметим, что уравнение (6.76) вместе с начальным условием λ𝑚𝑛(𝑡1)=δ𝑚𝑛 может быть использовано для непосредственного определения коэффициента λ.
Мы можем рассматривать все члены ряда (6.69) в соответствии с правилом, которое гласит: выражение -(𝑖/ℏ)𝑉𝑚𝑛(𝑡)𝑑𝑡 является амплитудой рассеяния (или индуцированного перехода) из состояния 𝑛 в состояние 𝑚 в течение промежутка времени 𝑑𝑡, вызванного потенциалом 𝑉. Переход из состояния 𝑛 в состояние 𝑚 может произойти посредством 0, 1, 2, … и большего числа рассеяний. Прямой переход из одного состояния в другое без рассеяния может происходить только в случае, когда 𝑚=𝑛; именно поэтому первый член в разложении (6.69) пропорционален δ𝑚𝑛.
Второй член, определяемый формулой (6.72), представляет собой амплитуду вероятности перехода, обусловленного единичным рассеянием. Амплитуда вероятности обнаружения частицы в момент времени 𝑡3 в начальном состоянии 𝑛 равна exp [-𝑖𝐸𝑛(𝑡3-𝑡1)/ℏ]. (В этом случае выражение «вероятность обнаружить частицу в состоянии 𝑛» следует понимать как «возможность рассеяния частицы из состояния 𝑛 под действием потенциала 𝑉».) Амплитуда рассеяния частицы потенциалом 𝑉 из состояния 𝑛 в состояние 𝑚 равна -(𝑖/ℏ)𝑉𝑚𝑛. Наконец, амплитуда вероятности обнаружить частицу в момент времени 𝑡3 в состоянии 𝑚 (что в данном случае эквивалентно амплитуде вероятности перехода частицы в состояние 𝑚 за время, в течение которого происходил процесс рассеяния) пропорциональна exp [-𝑖𝐸𝑚(𝑡2-𝑡3)/ℏ]. Это рассеяние может иметь место в любой момент времени в интервале между 𝑡1 и 𝑡2, поэтому выполняется интегрирование по времени 𝑡3 между этими двумя конечными точками.
Третий член формулы (6.74) является амплитудой перехода, происходящего вследствие двух актов рассеяния. Первое рассеяние переводит систему из начального состояния 𝑛 в промужуточное состояние 𝑘 в момент времени 𝑡3. Далее, система остаётся в этом состоянии вплоть до момента времени 𝑡4 т.е. до тех пор, пока её способность к рассеянию не будет снова определяться экспоненциальной функцией exp [-(𝑖/ℏ)𝐸𝑘(𝑡4-𝑡3)]. Следующее рассеяние происходит в момент времени 𝑡4 и переводит систему из состояния 𝑘 в состояние 𝑛. Мы интегрируем по всем возможным альтернативным временам рассеяния 𝑡4 и 𝑡3, требуя лишь, чтобы момент времени 𝑡3 предшествовал моменту 𝑡4. Далее мы суммируем по всем возможным промежуточным состояниям 𝑘, в которые может перейти наша система.
Члены ряда (6.69), для которых мы только что дали интерпретацию, представляют собой основной результат нестационарной теории возмущений. Этот результат применим в случае, когда невозмущённая система имеет постоянный гамильтониан и, следовательно, определённые значения энергии. Перейдём теперь к более подробному изучению некоторых частных случаев этой теории.
Переходы первого порядка. Рассмотрим прежде всего случай, когда конечное состояние системы 𝑚 отличается от её начального состояния 𝑛, и ограничимся только первым борновским приближением, т.е. вторым членом ряда (6.69). Такой подход оправдан для малых значений потенциала 𝑉. Амплитуда перехода из состояния 𝑚 в состояние 𝑛
λ
(1)
𝑚𝑛
=-
𝑖
ℏ
𝑡2
∫
𝑡1
𝑒
(𝑖/ℏ)(𝐸𝑛-𝐸𝑚)𝑡
𝑉
𝑚𝑛
(𝑡)
𝑑𝑡
𝑒
-(𝑖/ℏ)(𝐸𝑛𝑡2-𝐸𝑚𝑡1)
.
(6.77)
Это очень важный частный случай нестационарной теории возмущений. В качестве первого примера предположим, что 𝑉(𝑥,𝑡)=𝑉(𝑥), т.е. что потенциал не содержит явной зависимости от времени. Если мы рассмотрим теперь интервал от 𝑡=0 до 𝑡=𝑇, то (поскольку матричный элемент 𝑉𝑚𝑛 не зависит от времени) получим
λ
(1)
𝑚𝑛
exp
⎡
⎢
⎣
𝑖
ℏ
(𝐸
𝑛
𝑡
2
-𝐸
𝑚
𝑡
1
)
⎤
⎥
⎦
=
=-
𝑖
ℏ
𝑉
𝑚𝑛
𝑇
∫
0
⎡
⎢
⎣
𝑖
ℏ
(𝐸
𝑛
-𝐸
𝑚
)𝑡
⎤
⎥
⎦
𝑑𝑡
=
𝑉
𝑚𝑛
exp[(𝑖/ℏ)(𝐸𝑛-𝐸𝑚)]-1
𝐸𝑚-𝐸𝑛
.
(6.78)
Следовательно, вероятность перехода за интервал времени, равный 𝑇,
𝑃(𝑛→𝑚)
=
|λ
(1)
𝑚𝑛
|²
=
|𝑉
𝑚𝑛
|²
⎡
⎢
⎣
4sin²
(𝐸𝑛-𝐸𝑚)𝑇
2ℏ
⎤
⎥
⎦
(𝐸
𝑛
-𝐸
𝑚
)
-2
.
(6.79)
Мы видим, что по крайней мере для большого интервала 𝑇 эта вероятность является быстро осциллирующей функцией от разности энергий 𝐸𝑛-𝐸𝑚. Если значения энергии 𝐸𝑛 и 𝐸𝑚 достаточно сильно отличаются друг от друга, т.е. если |𝑉𝑚𝑛|≪|𝐸𝑚-𝐸𝑛|, то вероятность 𝑃(𝑛→𝑚) будет очень мала. Это означает, что чрезвычайно мала вероятность найти значительное различие в энергиях начального и конечного состояний системы, подверженной действию очень слабого стационарного возмущения. Можно спросить, каким образом вообще малое возмущение 𝑉𝑚𝑛 может привести к значительному изменению энергии 𝐸𝑚-𝐸𝑛? Ответ таков: мы рассматриваем возмущение 𝑉, внезапно возникающее в некоторый момент времени 𝑡=0, поэтому точное указание этого момента уже само по себе в силу принципа неопределённости допускает большую неопределённость значения энергии [см. формулу (5.19) и связанное с ней обсуждение].
