Задача 6.20. Предположим, что потенциал 𝑉 сначала плавно возрастает, а затем плавно уменьшается. Пусть, например, 𝑉(𝑥,𝑡)=𝑉(𝑥)𝑓(𝑡) — гладкая функция, определяемая условиями

𝑓(𝑡)

=

⎧

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎨

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎩

1

2𝑒^γ𝑡

, если 𝑡=0,

1-

1

2𝑒^γ𝑡

, если 0 < 𝑡 <

𝑇

2

,

1-

1

2𝑒^-γ(𝑇-1)

, если

𝑇

2

< 𝑡 < 𝑇,

1

2𝑒^{-γ(𝑡-𝑇)}

, если 𝑡 > 𝑇

(6.80)

(фиг. 6.12). Допустим далее, что фактор 1/γ, определяющий временной рост функции 𝑓(𝑡), намного меньше величины 𝑇 (1/γ ≪ 𝑇).

Фиг. 6.12. Зависимость от времени потенциала, обусловливающего переход из состояния 𝑚 в состояние 𝑛.

Как только зависимость от времени 𝑓(𝑡) становится более слабой, т.е. разрывы остаются лишь в производных существенно более высоких порядков, вероятность перехода уменьшается.

Кроме того, предположим, что γ ≪ (𝐸_𝑚-𝐸_𝑛). Покажите что величина вероятности (6.79) уменьшается в этом случае в ξ раз, где ξ={γ²/[γ²+(𝐸_𝑚-𝐸_𝑛)]}². При определении функции 𝑓(𝑡) в виде (6.80) мы имеем ещё разрывы второй производной по времени; более гладкие функции приводят к ещё большему уменьшению величины 𝑃(𝑛→𝑚).

Может случиться, что значения энергии 𝐸_𝑚 и 𝐸_𝑛 будут в точности равны друг другу; в этом случае вероятность перехода 𝑃(𝑛→𝑚) = |𝑉_𝑚𝑛|² 𝑇²/ℏ² и возрастает пропорционально квадрату времени. Это означает, что понятие вероятности перехода на единицу времени в данном случае не имеет смысла. Указанная выше формула применима только для достаточно малых значений 𝑇, таких, что 𝑉_𝑚𝑛𝑇 ≪ ℏ. Если у нас имеются только два состояния с одинаковой энергией, то оказывается, что вероятность обнаружить систему в первом из этих состояний равна cos²(|𝑉_𝑚𝑛|𝑇/ℏ), а вероятность её обнаружения во втором состоянии равна sin²(|𝑉_𝑚𝑛|𝑇/ℏ), так что наша формула является всего лишь первым приближением к этим выражениям.

Задача 6.21. Рассмотрим такой частный случай, когда возмущающий потенциал 𝑉 не имеет никаких матричных элементов, кроме тех, что описывают переходы между уровнями 1 и 2; будем считать, что эти уровни вырождены, т.е. энергия 𝐸₁=𝐸₂. Пусть 𝑉₁₂=𝑉₂₁=𝑣, a 𝑉₁₁, 𝑉₂₂ и все другие матричные элементы 𝑉_𝑚𝑛 равны нулю. Покажите, что

λ

₁₁

=

1-

𝑣²𝑇²

2ℏ²

+

𝑣⁴𝑇⁴

24ℏ⁴

-…

=

cos

𝑣𝑇

ℏ

,

(6.81)

λ

₁₂

=

-𝑖

𝑣𝑇

ℏ

+𝑖

𝑣³𝑇³

6ℏ³

-…

=

-𝑖 sin

𝑣𝑇

ℏ

.

(6.82)

Задача 6.22. В задаче 6.21 мы имели равенство 𝑉₁₂=𝑉₂₁, поэтому матричный элемент 𝑉₁₂ является действительной величиной. Покажите, что и в том случае, когда 𝑉₁₂ — комплексная величина, физические результаты остаются теми же самыми (при этом следует положить 𝑣=|𝑉₁₂|).

Такие системы колеблются, переходя из одного состояния в другое, и обратно. Отсюда можно вывести некоторые дополнительные следствия. Предположим, что взмущение действует чрезвычайно длительное время, так что 𝑉_𝑚𝑛𝑇/ℏ ≫ 1. Тогда, рассматривая систему в произвольный момент времени 𝑇 (который до некоторой степени является неопределённым), найдём, что вероятности обнаружить систему в первом или во втором состояниях в среднем равны друг другу. Другими словами, если на систему с двумя состояниями, энергии которых в точности равны друг другу, очень долгое время действует какое-то слабое возмущение, то оба эти состояния становятся равновероятными. Этот вывод окажется нам полезен, когда в гл. 10 мы будем рассматривать вопросы статистической механики.

Особенно важен случай, когда допустимые значения энергии конечного состояния 𝐸_𝑚 не являются дискретными, а лежат непрерывно или по крайней мере расположены чрезвычайно близко друг к другу. Пусть ρ(𝐸)𝑑𝐸 — число уровней или состояний в интервале энергий от 𝐸 до 𝐸+𝑑𝐸. Тогда можно поставить вопрос об определении вероятности перехода в некоторое состояние этого непрерывного спектра. Прежде всего мы видим, что весьма маловероятен переход в любое состояние, для которого разность энергий 𝐸_𝑛-𝐸_𝑚 велика; более вероятно, что конечное состояние будет одним из тех, которые расположены вблизи начальной энергии 𝐸_𝑛 (в пределах ±𝑉_𝑚𝑛). Полная вероятность перехода в некоторое состояние

_∞

∑

^𝑚=1

𝑃(𝑛→𝑚)

=

∑

^𝑚=1

|𝑉

_𝑚𝑛

|²

4 sin²[(𝐸_𝑚-𝐸_𝑛)𝑇/2ℏ]

(𝐸_𝑚-𝐸_𝑛)²

≈

≈

_𝐸𝑚

∫

|𝑉

_𝑚𝑛

|²

4 sin²[(𝐸_𝑚-𝐸_𝑛)𝑇/2ℏ]

(𝐸_𝑚-𝐸_𝑛)²

ρ(𝐸

_𝑚

)

𝑑𝐸

_𝑛

.

(6.83)

Величина {4 sin²[(𝐸_𝑚-𝐸_𝑛)𝑇/2ℏ]/(𝐸_𝑚-𝐸_𝑛)²} очень велика, если 𝐸_𝑚≈𝐸_𝑛 и имеет наибольшее значение, равное 𝑇²/ℏ². Эта величина значительно уменьшается, когда энергии 𝐸_𝑚 и 𝐸_𝑛 существенно различны (т.е. 𝐸_𝑚-𝐸_𝑛 ≥ ℏ/𝑇), как это показано на фиг. 6.13. Таким образом, интеграл по переменной 𝐸_𝑚 почти целиком определяется значениями 𝐸_𝑚, лежащими в окрестности точки 𝐸_𝑛.

Фиг. 6.13. Поведение подынтегральной функции.

Разность энергий 𝐸_𝑚-𝐸_𝑛 выражена переменной 𝑥. Когда обе эти энергии становятся приблизительно равными (другими словами, когда 𝑥 очень мало), функция sin²𝑥/𝑥² достигает своей максимальной величины. Для бо'льших значений разности энергий эта функция становится очень малой. Поэтому во всех выражениях, в которые входит эта функция, основная часть вклада привносится центральной областью, т.е. областью, где энергии 𝐸_𝑚 и 𝐸_𝑛 приблизительно равны друг другу.

Если матричный элемент 𝑉_𝑚𝑛 изменяется не очень быстро, так что мы можем заменить его некоторым средним значением, и если, кроме того, плотность уровней ρ(𝐸_𝑚) также изменяется медленно, то интеграл (6.83) можно достаточно точно представить выражением

4|𝑉

_𝑚𝑛

|²

ρ(𝐸

_𝑛

)

_𝐸𝑚

∫

sin²[(𝐸_𝑚-𝐸_𝑛)𝑇/2ℏ]

(𝐸_𝑚-𝐸_𝑛)²

𝑑𝐸

_𝑛

.

(6.84)

Так как

_∞

∫

^-∞

[(sin²𝑥)/𝑥²]𝑑𝑥

=π,

то интеграл (6.84) равен π𝑇/2ℏ и в результате получаем, что вероятность перехода в некоторое состояние непрерывного спектра выразится в виде