𝑃(𝑛→𝑚)
=
2π
|𝑉
𝑚𝑛
|²
ρ(𝐸𝑛)𝑇
ℏ
;
(6.85)
при этом энергия в конечном состоянии останется той же, что и в начальном. Отсюда вероятность перехода в единицу времени мы можем записать как
𝑑𝑃(𝑛→𝑚)
𝑑𝑡
=
2π
ℏ
|𝑀
𝑛→𝑚
|²
ρ(𝐸)
,
(6.86)
где величина 𝑀𝑛→𝑚 называется матричным элементом перехода, а ρ(𝐸) — плотность уровней в конечном состоянии. В нашем случае матричный элемент 𝑀𝑛→𝑚 совпадает с 𝑉𝑚𝑛 если же перейти к более высоким порядкам разложения по λ𝑚𝑛, то вид этого элемента становится гораздо сложнее.
Выражение (6.86) можно записать иначе, а именно как вероятность перехода за единицу времени из состояния 𝑛 в некоторое заданное состояние 𝑚.
𝑑𝑃(𝑛→𝑚)
𝑑𝑡
=
2πδ(𝐸𝑛-𝐸𝑚)|𝑀𝑛→𝑚|²
ℏ
(6.87)
Тогда, после того как мы просуммируем по всем состояниям 𝑚, останутся лишь те, для которых 𝐸𝑛=𝐸𝑚. Сделав замену
∑
𝑚
→
∫
𝑑𝐸
𝑚
ρ(𝐸
𝑚
)
,
получим в результате формулу (6.86).
Выражение (6.86) мы можем проиллюстрировать на примере (который ранее был рассмотрен с несколько другой точки зрения) рассеяния электрона в потенциальном поле (см. § 4). Предположим, что на свободную частицу действует центральная сила с потенциалом 𝑉(𝐫) и мы хотим изучить рассеяние этой частицы при переходе из некоторого начального состояния с определённым значением импульса в конечное состояние с другим значением импульса, имеющим новое направление. Будем считать, что начальное состояние 𝑛 описывается плоской волной с импульсом 𝐩1 так что волновая функция φ𝑛 имеет вид exp (𝑖𝐩1⋅𝐫/ℏ) (функция нормирована таким образом, чтобы интеграл от квадрата модуля |φ𝑛|² по единичному объёму был равен единице). Допустим, что конечное состояние также описывается плоской волной с импульсом 𝐩2 и, следовательно, его волновая функция φ𝑚 есть exp (𝑖𝐩2⋅𝐫/ℏ). Тогда для матричного элемента 𝑉𝑚𝑛 будем иметь
𝑉
𝑚𝑛
=
𝐫
∫
𝑒
-(𝑖/ℏ)𝐩2⋅𝐫
𝑉(𝐫)
𝑒
(𝑖/ℏ)𝐩1⋅𝐫
𝑑³𝐫
=
𝑣(𝐩)
,
(6.88)
где 𝐩=𝐩2-𝐩1. В процессе такого рассеяния энергия будет сохраняться, поэтому 𝐩²2/2𝑚=𝐩²1/2𝑚. Это означает, что абсолютные значения импульсов 𝐩1 и 𝐩2 равны. Положим их равными 𝑝, т.е.
|𝐩
1
|
=
|𝐩
2
|
=
𝑝.
В соответствии с принятым нами соглашением относительно записи элемента объёма в импульсном пространстве число состояний, имеющих импульсы в элементе объёма 𝑑³𝐩2, равно 𝑑³𝐩2/(2πℏ)³ = 𝑝² 𝑑𝑝 𝑑Ω/(2πℏ)³, где 𝑑Ω — элемент телесного угла, содержащий вектор импульса 𝐩2. Дифференциал энергии 𝑑𝐸 и элементарный объём в пространстве импульсов связаны соотношением
𝑑𝐸
=
𝑑
𝑝²
2𝑚
=
𝑝 𝑑𝑝
𝑚
.
(6.89)
Таким образом, плотность импульсных состояний частиц, вылетающих в телесный угол 𝑑Ω,
𝑑ρ(𝐸)
=
1
𝑑𝐸
𝑑³𝐩2
(2πℏ)³
=
𝑚𝑝 𝑑Ω
(2πℏ)³
=
ρ(𝐸) 𝑑
Ω
.
(6.90)
Подставив эти соотношения в формулу (6.86), определим вероятность перехода за 1 сек в элемент телесного угла 𝑑Ω:
𝑑𝑃
𝑑𝑡
=
⎧
⎪
⎩
1
2πℏ²
⎫²
⎪
⎭
𝑚𝑝 𝑑
Ω
|𝑣(𝐪)|²
.
(6.91)
Обозначим эффективную площадь мишени (эффективное сечение рассеяния в телесный угол 𝑑Ω) как 𝑑σ (ср. § 4 и 6 ). Так как в качестве исходных мы взяли волновые функции φ𝑛, нормированные на единичный объём (другими словами, относительная вероятность обнаружить частицу в каком-либо единичном объёме равна у нас единице), то число частиц, попадающих на площадь 𝑑σ в единичное время, равно произведению эффективного сечения на скорость налетающих частиц 𝑢1=𝑝1/𝑚. Поэтому
𝑑𝑃
𝑑𝑡
𝑑
Ω
=
𝑢
1
𝑑σ
=
𝑝1
𝑚
𝑑σ
.
(6.92)
Для эффективного сечения отсюда следует выражение
𝑑σ
𝑑Ω
=
⎧
⎪
⎩
𝑚
2πℏ²
⎫²
⎪
⎭
|𝑣(𝐪)|²
,
(6.93)
которое в точности совпадает с ранее полученным выражением
Задача 6.23. Покажите, что для сечения 𝑑σ/𝑑Ω получится тот же самый результат и в том случае, если волновая функция φ𝑛 нормирована на единицу в некотором произвольном объёме 𝑉.
Задача 6.24. Пусть потенциал 𝑉 — периодическая функция времени. Например, положим 𝑉(𝑥,𝑡) = 𝑉(𝑥)(𝑒𝑖ω𝑡+𝑒-𝑖ω𝑡). Покажите, что вероятность перехода мала, если только конечное состояние не совпадает с одним из следующих двух состояний: 1) состояние, энергия которого 𝐸кон=𝐸нач+ℏω (это будет соответствовать поглощению энергии), или 2) состояние, где 𝐸кон=𝐸нач-ℏω (что соответствует излучению энергии). Это означает, что вид формулы (6.86) не изменяется, однако плотность состояний ρ(𝐸) должна вычисляться для этих новых значений 𝐸. Аналогично соотношению (6.87) мы имеем
𝑑𝑃(𝑛→𝑚)
𝑑𝑡
=
2π
ℏ
|𝑀
𝑛→𝑚
|²
[δ(𝐸
𝑚
-𝐸
𝑛
-ℏω)
+δ(𝐸
𝑚
-𝐸
𝑛
+ℏω)]
.
(6.94)
Задача 6.25. Явление фотоэффекта показывает, что не только уравнениям механики, но и всем электродинамическим соотношениям следует придать квантовую форму. Это явление заключается в том, что свет частоты ω, попадая на тонкий слой металла, с определённой вероятностью вызывает испускание электрона с энергией ℏω. Возможен ли такой эффект, если вещество подчиняется квантовым законам, а свет по-прежнему будет рассматриваться как непрерывная волна? Какие соображения (используя результаты задачи 6.24) вы можете привести в пользу того, что нам необходимо отказаться от аппарата классической электродинамики?
Задача 6.26. Предположим, что мы имеем два дискретных энергетических уровня 𝐸1 и 𝐸2 и ни один из них не принадлежит непрерывному спектру. Пусть переход вызывается потенциалом вида 𝑉(𝑥,𝑡) = 𝑉(𝑥)𝑓(𝑡). Покажите, что вероятность перехода составит
