𝑃(𝑛→𝑚)

=

|𝑉

₁₂

|²

|φ(ω

₀

)|²

,

(6.95)

если функцию 𝑓(𝑡) можно представить в виде интеграла Фурье

𝑓(𝑡)

=

_∞

∫

^-∞

φ(ω)

𝑒

^𝑖ω𝑡

𝑑ω

2π

(6.96)

и положить ω₀=(𝐸₂-𝐸₁)/ℏ. В случае, когда 𝑓(𝑡) — известная из теории шумов статистически нерегулярная функция (так называемый фильтрованный белый шум), величина φ(ω), определяемая обратным преобразованием

φ(ω)

=

_𝑇

∫

^-𝑇

𝑓(𝑡)

𝑒

^𝑖ω𝑡

𝑒𝑡

,

(6.97)

оказывается зависящей от размеров 𝑇 области изменения переменной интегрирования 𝑡, 𝑇. Если 𝑇 очень велико, то можно показать, что квадрат абсолютной величины |φ(ω₀)|² пропорционален 𝑇. В итоге мы получим вероятность перехода, пропорциональную произведению времени и «интенсивности» 𝑓 на единицу интервала частоты, взятую при значении ω₀ («интенсивность», или «мощность», равна среднеквадратичному значению функции 𝑓 за время 1 сек). Таким образом, вероятность перехода атома в область непрерывного спектра пропорциональна, во-первых, времени экспозиции и, во-вторых, интенсивности поглощения света с частотой (𝐸₂-𝐸₁)/ℏ.

Высшие члены разложения. Интересно рассмотреть второй член ряда теории возмущений. Он особенно важен в тех задачах, где для интересующих нас состояний 𝑚 и 𝑛 потенциал 𝑉_𝑚𝑛. Допустим, что в такой задаче имеются другие состояния 𝑘≠𝑚 для которых 𝑉_𝑘𝑚≠0. Член первого порядка равен нулю, а поскольку 𝑛≠𝑚, то член нулевого порядка также обращается в нуль. Поэтому первый член, который следует учитывать при вычислении амплитуды перехода, является членом второго порядка.

Предположим, что потенциал 𝑉 не зависит от времени 𝑡. Тогда член второго порядка в матричном элементе перехода будет равен λ²_𝑚𝑛, и если 𝑇=𝑡₂-𝑡₁, то из соотношения (6.74) будет следовать, что

𝑒

^{(𝑖/ℏ)(𝐸_𝑚𝑡₂-𝐸_𝑛𝑡₁)}

λ

₍₂₎

^𝑚𝑛

=-

1

ℏ²

∑

^𝑘

𝑉

_𝑚𝑘

𝑉

_𝑘𝑛

_𝑇

∫

⁰

𝑑𝑡

₄

_𝑡3

∫

⁰

𝑑𝑡

₃

×

×

𝑒

^{(𝑖/ℏ)(𝐸_𝑚-𝐸_𝑘)𝑡₄}

𝑒

^{(𝑖/ℏ)(𝐸_𝑘-𝐸_𝑛)𝑡₄}

=

=

𝑖

ℏ

∑

^𝑘

𝑉

_𝑚𝑘

𝑉

_𝑘𝑛

_𝑇

∫

⁰

𝑒

^{(𝑖/ℏ)(𝐸_𝑚-𝐸_𝑘)𝑡₄}

(𝑒

^{(𝑖/ℏ)(𝐸_𝑘-𝐸_𝑛)𝑡₄}

-1)

𝑑𝑡₄

𝐸_𝑘-𝐸_𝑛

=

=

∑

^𝑘

𝑉_𝑚𝑘𝑉_𝑘𝑛

𝐸_𝑘-𝐸_𝑛

⎧

⎪

⎩

𝑒^{(𝑖/ℏ)(𝐸_𝑚-𝐸_𝑛)𝑇}-1

𝐸_𝑚-𝐸_𝑛

-

𝑒^{(𝑖/ℏ)(𝐸_𝑚-𝐸_𝑘)𝑇}-1

𝐸_𝑚-𝐸_𝑘

⎫

⎪

⎭

.

(6.98)

Первый из двух членов в последнем сомножителе этого выражения зависит от времени точно так же, как и член первого порядка, с которым мы уже встречались ранее. Следовательно, если мы отбросим второй член, то получим результат, который снова с вероятностью, пропорциональной 𝑇, описывает переход в состояния с энергией 𝐸_𝑚=𝐸_𝑛. Вероятность на единицу времени здесь опять-таки определяется выражением (6.86), но только матричный элемент 𝑀_𝑛→𝑚 принимает вид

𝑀

_𝑛→𝑚

=

∑

^𝑘

𝑉_𝑚𝑘𝑉_𝑘𝑛

𝐸_𝑘-𝐸_𝑛

.

(6.99)

Если предположить, что состояния системы лежат в непрерывном спектре, то сумма (6.99) превратится в интеграл.

Соотношение (6.99) верно лишь при условии, что переходы первого порядка невозможны не только в состояние 𝑚, но и в любое состояние 𝑘, имеющее ту же самую энергию, что и начальное состояние. В этом случае 𝑉_𝑘𝑛=0 для всех состояний, у которых 𝐸_𝑘=𝐸_𝑛. Таким образом, второй член в формуле (6.98) никогда не будет большим, так как он может стать таковым лишь в том случае, когда разность 𝐸_𝑛-𝐸_𝑘 почти равна нулю, но при этом и величина 𝑉_𝑘𝑛 в числителе также будет близкой к нулю. Так как все эффекты обусловлены первым членом, то формула (6.99) является математически корректной. Более того, сумма по 𝑘 в выражении (6.98) может иметь предел и в полюсе (точке 𝐸_𝑘=𝐸_𝑚, поскольку числитель этого выражения обращается в нуль при том же значении 𝐸_𝑘, что и знаменатель.

С другой стороны, может быть такая ситуация, когда станет возможен переход первого порядка в некоторое другое непрерывное состояние (например, распад ядра может происходить различными путями). В этом случае сумма в формуле (6.99) теряет смысл, так как мы должны определить, что нам делать в окрестности полюса. Для этого в формуле (6.98) надо учесть ранее отброшенный нами второй член разложения, который в нределе при ε→0 и даёт нам математически правильное выражение:

𝑀

_𝑛→𝑚

=

𝑉

_𝑚𝑛

+

∑

^𝑘

𝑉_𝑚𝑘𝑉_𝑘𝑛

𝐸_𝑘-𝐸_𝑛-𝑖ε

(6.100)

(для общности здесь выписан также и член первого порядка). Проанализируем теперь, как это происходит.

Прежде всего следует заметить, что при больших значениях 𝑇 мы можем получить большую величину вероятности перехода (т.е. вероятность, пропорциональную 𝑇) лишь в том случае, когда энергии 𝐸_𝑛 и 𝐸_𝑚 практически равны друг другу (с точностью до величин порядка ℏ/𝑇). Это очевидно для первого члена в формуле (6.98). Что касается второго члена, то большие амплитуды могут появиться здесь лишь тогда, когда 𝐸_𝑘≈𝐸_𝑚; если же энергия 𝐸_𝑚 не слишком близка к 𝐸_𝑛, то коэффициент, стоящий перед всем выражением, является гладкой функцией 𝐸_𝑘 для всех значений 𝐸_𝑘, близких к 𝐸_𝑚. Приближённо заменив эту функцию константой в малой области вблизи 𝐸_𝑘=𝐸_𝑚, мы видим, что второй член может быть аппроксимирован некоторой постоянной величиной, помноженной на фактор

𝑒^{(𝑖/ℏ)ε𝑇}-1

ε

𝑑ε

,

где ε=(𝐸_𝑚-𝐸_𝑘). Это выражение интегрируется по малой области, скажем от -δ до +δ. Имеем