δ
∫
-δ
𝑒(𝑖/ℏ)ε𝑇-1
ε
𝑑ε
=
δ𝑇/ℏ
∫
-δ𝑇/ℏ
𝑒𝑖𝑦-1
𝑦
𝑑𝑦
=
δ𝑇/ℏ
∫
-δ𝑇/ℏ
⎧
⎪
⎩
cos 𝑦-1
𝑦
+
𝑖 sin 𝑦
𝑦
⎫
⎪
⎭
𝑑𝑦
.
(6.101)
Первый интеграл в этом выражении берётся от нечётной функции и обращается в нуль. Второй интеграл стремится к конечному пределу, когда 𝑇→∞ (так как δ𝑇/ℏ→∞):
2𝑖
∞
∫
0
sin 𝑦
𝑦
𝑑𝑦
=
2π𝑖,
так что вероятность перехода невелика. Эта вероятность может стать значительной только в том случае, когда энергии 𝐸𝑛 и 𝐸𝑚 практически равны друг другу, так как совпадение двух полюсов (𝐸𝑘-𝐸𝑛)-1 и (𝐸𝑚-𝐸𝑘)-1 приводит к возрастанию роли второго члена. Поэтому мы продолжим анализ, предположив, что 𝐸𝑚 и 𝐸𝑛 приблизительно равны.
Выбрав некоторое малое значение энергии Δ, разделим сумму по 𝑘 в выражении (6.98) на две части: часть 𝐴, для которой |𝐸𝑘-𝐸𝑛|≥Δ, и часть 𝐵, для которой |𝐸𝑘-𝐸𝑛|<Δ. Величину Δ мы выберем настолько малой, чтобы коэффициент 𝑉𝑚𝑘𝑉𝑘𝑛 был приблизительно постоянен, когда энергия 𝐸𝑘 будет принимать значения в интервале 2Δ вблизи точки 𝐸𝑛. Выбранная таким образом величина разности энергий Δ является конечной величиной, и 𝑇 можно взять настолько большим, чтобы выполнялось ℏ/𝑇 ≪ Δ, а это означает, что |𝐸𝑛-𝐸𝑚|≪Δ.
Итак, для части 𝐴 выполняется неравенство |𝐸𝑘-𝐸𝑛|≥Δ. Тогда второй член невелик, так как он не имеет полюсов. Вклад вносит только первый член, и он равен
𝑎
𝑒𝑖𝑥-1
𝑥
𝑇
ℏ
,
(6.102)
где 𝑥=(𝐸𝑚-𝐸𝑛)𝑇/ℏ и
𝑎
=
(𝐴)
∑
𝑘
𝑉𝑚𝑘𝑉𝑘𝑛
𝐸𝑘-𝐸𝑛
.
Суммирование здесь выполняется по всем значениям 𝐸𝑘, за исключением тех, которые попадают в интервал ±Δ вблизи 𝐸𝑚. Эта сумма почти не зависит от Δ, и когда Δ→0, она определяет главное значение интеграла. Поэтому в пределе при Δ→0 мы можем написать
𝑎
=
𝑉
𝑚𝑛
+
∑
𝑘
𝑉
𝑚𝑘
𝑉
𝑘𝑛
𝐏𝐏
1
𝐸𝑘-𝐸𝑛
,
(6.103)
где выписан член первого порядка и символом 𝐏𝐏 отмечено, что он берётся в смысле главного значения.
В части 𝐵 мы будем считать фактор 𝑉𝑚𝑘𝑉𝑘𝑛 постоянным и равным его значению в точке 𝐸𝑘=𝐸𝑚. Другими словами, мы заменим
(𝐵)
∑
𝑘
𝑉
𝑚𝑘
𝑉
𝑘𝑛
𝐹(𝐸
𝑘
)
выражением
⎡
⎢
⎣
∑
𝑘
𝑉
𝑚𝑘
𝑉
𝑘𝑛
δ(𝐸
𝑘
-𝐸
𝑚
)
⎤
⎥
⎦
𝐸𝑚+Δ
∫
𝐸𝑚-Δ
𝐹(𝐸
𝑘
)
𝑑𝐸
𝑘
,
(6.104)
которое запишем как в 𝐼, где
𝑏
=
∑
𝑘
𝑉
𝑚𝑘
𝑉
𝑘𝑛
δ(𝐸
𝑘
-𝐸
𝑚
)
(6.105)
и
𝐼
=
𝐸𝑚+Δ
∫
𝐸𝑚-Δ
𝑑𝐸𝑘
𝐸𝑘-𝐸𝑛
⎧
⎪
⎩
𝑒(𝑖/ℏ)(𝐸𝑚-𝐸𝑛)𝑇-1
𝐸𝑚-𝐸𝑛
-
𝑒(𝑖/ℏ)(𝐸𝑚-𝐸𝑘)𝑇-1
𝐸𝑚-𝐸𝑘
⎫
⎪
⎭
.
(6.106)
Положив далее (𝐸𝑚-𝐸𝑛)(𝑇/ℏ)=𝑥 и (𝐸𝑘-𝐸𝑛)(𝑇/ℏ)=𝑦, так что (𝐸𝑚-𝐸𝑘)(𝑇/ℏ)=𝑥-𝑦, получим
𝐼
=
𝑇
ℏ
Δ𝑇/ℏ
∫
-Δ𝑇/ℏ
𝑑𝑦
𝑦
⎧
⎪
⎩
𝑒𝑖𝑥-1
𝑥
-
𝑒𝑖(𝑥-𝑦)-1
𝑥-𝑦
⎫
⎪
⎭
.
(6.107)
Этот интеграл легче всего вычислить интегрированием по контуру, считая 𝑦 комплексной переменной и деформируя контур интегрирования. Вместо интегрирования по прямой от -Δ𝑇/ℏ до Δ𝑇/ℏ будем интегрировать по полуокружности радиуса Δ𝑇/ℏ ниже действительной оси. Поскольку отношение Δ𝑇/ℏ очень велико, а вклад второго члена пренебрежимо мал и поскольку
Δ𝑇/ℏ
∫
-Δ𝑇/ℏ
𝑑𝑦
𝑦
=
𝑖π
,
мы получим 𝐼=𝑖π(𝑇/ℏ)(𝑒𝑖𝑥-1)/𝑥. Складывая части 𝐴 и 𝐵, получаем, наконец, выражение для амплитуды
(𝑎+𝑖π𝑏)
(𝑒𝑖𝑥-1)𝑇
𝑥ℏ
.
(6.108)
Соответствующая вероятность перехода имеет вид (6.86), где
𝑀
𝑛→𝑚
=
𝑎+𝑖π𝑏
=
𝑉
𝑚𝑛
+
∑
𝑘
𝑉
𝑚𝑘
𝑉
𝑘𝑛
⎡
⎢
⎣
𝐏𝐏
1
𝐸𝑘-𝐸𝑛
+
𝑖π
(𝐸
𝑘
-𝐸
𝑚
)
⎤
⎥
⎦
.
(6.109)
Подобно тому как это уже было сделано в соотношении (6.100), последнюю скобку можно записать как (𝐸𝑘-𝐸𝑚-𝑖ε)-1, где необходимо взять предел при ε→0.
Из формулы (6.100) мы видели, что даже в том случае, когда невозможен прямой переход 𝑛→𝑚 из состояния 𝑛 в состояние 𝑚, тем не менее можно допустить, что такой переход может осуществляться через некоторое так называемое промежуточное состояние.
