Задача 6.12. В предположении о независимости потенциала 𝑉(𝑟) от времени покажите, что интегрирование по времени в выражении для ядра , описывающем рассеяние во втором порядке теории возмущений, приводит к формуле

𝐾

⁽²⁾

(𝑏,𝑎)

=

⎧

⎪

⎩

𝑚

2πℏ²

⎫2

⎪

⎭

⎧

⎪

⎩

𝑚

2π𝑖ℏ𝑇

⎫3/2

⎪

⎭

_𝐫𝑐

∫

_𝐫𝑑

∫

𝑟_𝑐𝑑+𝑟_𝑎𝑐+𝑟_𝑑𝑏

𝑟_𝑐𝑑𝑟_𝑎𝑐𝑟_𝑑𝑏

×

×

⎡

⎢

⎣

exp

⎧

⎪

⎩

𝑖𝑚

2ℏ𝑇

⎫

⎪

⎭

(𝑟

_𝑐𝑑

+𝑟

_𝑎𝑐

+𝑟

_𝑑𝑏

)²

⎤

⎥

⎦

𝑉(𝐫

_𝑐

)

𝑉(𝐫

_𝑑

)

𝑑³𝐫

_𝑐

𝑑³𝐫

_𝑑

,

(6.58)

где точки 𝑎, 𝑏, 𝑐 и 𝑑 расположены так, как это показано на фиг. 6.9; величина 𝑟_𝑐𝑑 равна расстоянию между точками 𝑐 и 𝑑 и т. д. Полагая, что потенциал 𝑉(𝐫) становится пренебрежимо малым на расстояниях, небольших по сравнению с 𝑅_𝑎, и 𝑅_𝑏, покажите, что эффективное сечение даётся формулой σ=|𝑓|², где 𝑓 — амплитуда рассеяния, содержащая лишь члены первого приближения:

𝑓

=

𝑚

2πℏ²

_𝐫

∫

𝑒

^{-(𝑖/ℏ)𝐩_𝑏⋅𝐫}

𝑉(𝐫)

𝑒

^{(𝑖/ℏ)𝐩_𝑎⋅𝐫}

𝑑³𝐫

+

+

⎧

⎪

⎩

𝑚

2πℏ²

⎫²

⎪

⎭

_𝐫𝑐

∫

_𝐫𝑑

∫

𝑒

^{-(𝑖/ℏ)𝐩_𝑏⋅𝐫_𝑑}

𝑉(𝐫

_𝑑

)

⎧

⎪

⎩

1

𝑟_𝑐𝑑

⎫

⎪

⎭

𝑒

^{(𝑖/ℏ)𝑝𝑟_𝑐𝑑}

×

×

𝑉(𝐫

_𝑐

)

𝑒

^{(𝑖/ℏ)𝐩_𝑎⋅𝐫_𝑐}

𝑑³𝐫

_𝑐

𝑑³𝐫

_𝑑

+члены более высокого порядка.

(6.59)

Здесь 𝐩_𝑏 — импульс электрона, вылетающего в направлении 𝐑_𝑏, а 𝐩_𝑎 —импульс электрона, движущегося в направлении — 𝐑_𝑎. Абсолютная величина импульса равна 𝑝, и она почти не меняется при упругом рассеянии электрона на относительно тяжёлом атоме.

Фиг. 6.9. Учёт членов второго порядка в разложении теории возмущений.

Как на фиг. 6.2 (случай 3), здесь изображено рассеяние электрона атомным потенциалом в двух различных точках. Электрон выходит из точки 𝑎 и движется как свободная частица до точки 𝑐, где он рассеивается; после этого электрон снова движется как свободная частица до точки 𝑑, где происходит ещё одно рассеяние, и далее снова продолжается свободное движение вплоть до точки 𝑏, где электрон попадает в счётчик. Точки 𝑐 и 𝑑 могут находиться в любом месте пространства. Атомный потенциал в этих точках зависит от длин радиусов-векторов 𝐫_𝑐 и 𝐫_𝑑, измеряемых от центра атома 𝑂.

Можно было бы ожидать, что, когда борновское приближение становится недостаточно точным, имеет смысл вычислять в качестве поправки члены второго порядка и т. д. Но на практике оказывается, что в выражениях типа (6.59) мы встречаемся с весьма медленно сходящимися рядами. Если второй член даёт сравнительно заметную поправку (например, ~ 10%), то каждый следующий член даст ненамного меньший вклад, так что получить существенное улучшение результата довольно нелегко. Конечно, в задачах, где погрешности борновского приближения сравнительно малы (скажем, меньше 1%), учёт второго члена является вполне хорошим способом вычисления поправок.

Описание рессеяния с помощью волновой функции. В рассмотренных выше экспериментах по рассеянию мы предполагали, что в начальном состоянии электрон был свободной частицей с импульсом 𝐩_𝑎. Предполагалось также, что величину этого импульса можно определить методом измерения времени пролёта (т.е. по полному времени 𝑇, необходимому для прохождения расстояния 𝑅_𝑎+𝑅_𝑏).

Конечно, не обязательно использовать именно этот способ; нас вполне удовлетворит любое устройство, которое позволит определять величину импульса. Поэтому обобщим рассмотренную картину процесса рассеяния, воспользовавшись понятием волновой функции.

Допустим, нам известно, что влетающий электрон имеет импульс 𝑝_𝑎 и энергию 𝐸_𝑎=𝑝²_𝑎/2𝑚. Следовательно, волновая функция налетающих электронов

φ

_𝑎

=

𝑒

^{(𝑖/ℏ)𝐩_𝑎⋅𝐫}

𝑒

^{-(𝑖/ℏ)𝐸_𝑎𝑡}

.

(6.60)

Использовав теперь два первых члена соотношения (6.25), мы можем в первом приближении теории возмущений записать следующее выражение для волновой функции вылетающих электронов:

ψ(𝐑

_𝑏

,𝑡

_𝑏

)

=

𝑒

^{(𝑖/ℏ)𝐩_𝑎⋅𝐑_𝑏}

𝑒

^{-(𝑖/ℏ)𝐸_𝑎𝑡_𝑏}

-

-

𝑖

ℏ

_𝑡𝑏

∫

⁰

_𝐫

∫

𝐾

₀

(𝐑

_𝑏

,𝑡

_𝑏

;𝐫,𝑡)

𝑉(𝐫,𝑡)

𝑒

^{(𝑖/ℏ)𝐩_𝑎⋅𝐫}

𝑒

^{-(𝑖/ℏ)𝐸_𝑎𝑡}

𝑑³𝐫

𝑑𝑡

.

(6.61)

Первый член в этом выражении представляет собой дебройлевскую волну свободных частиц, которые проходят область действия потенциала, не рассеявшись. Второй член — амплитуда рассеянных электронов. Если обозначить его через φ_𝑠, то эта функция опишет рассеянную волну.

Задача 6.13. Предположим, что потенциал 𝑉(𝐫,𝑡) в действительности не зависит от времени 𝑡. Подставив в формулу (6.61) выражение ядра 𝐾₀, соответствующее движению свободных частиц, и проинтегрировав полученный результат по переменной 𝑡, покажите, что

ψ(𝐑

_𝑏

,𝑡

_𝑏

)

=

𝑒

^{(𝑖/ℏ)𝐸_𝑏𝑡_𝑏}

+[

𝑒

^{(𝑖/ℏ)𝐩_𝑎⋅𝐑_𝑏}

+

+

𝑚

2πℏ²

_𝐫𝑐

∫

1

𝑟_𝑏𝑐

𝑒

^{(𝑖/ℏ)𝑝𝑟_𝑏𝑐}

𝑉(𝐫

_𝑐

)