Задача 6.7. Предположим, что потенциал 𝑉(𝐫) создаётся зарядом, распределённым с плотностью ρ(𝐫), так что
∇²𝑉(𝐫)
=
4π𝑒ρ(𝐫)
.
(6.48)
Пусть плотность ρ(𝐫) спадает до нуля при |𝐫|→∞. Умножая соотношение (6.48) на exp [𝑖𝐪⋅(𝐫/ℏ)] и дважды интегрируя по переменной 𝐫, покажите что функция 𝑣(𝐪) может быть следующим образом выражена через плотность ρ:
𝑣(𝐪)
=
4πℏ²𝑒²
𝑞²
𝐫
∫
𝑒
(𝑖/ℏ)(𝐪⋅𝐫)
ρ(𝐫)
𝑑³𝐫
.
(6.49)
Атом можно описать, используя понятие плотности заряда. В области атомного ядра эта плотность заряда предполагается сингулярной, так что её можно представить в виде δ-функции от расстояния 𝑟 с коэффициентом 𝑍, равным заряду ядра. Если ρ𝑒 — плотность атомных электронов, то функция 𝑣(𝐪) в этом случае запишется как
𝑣(𝐪)
=
4πℏ²𝑒²
𝑞²
⎡
⎢
⎣
𝑍-
𝐫
∫
ρ
𝑒
(𝐫)
𝑒
(𝑖/ℏ)(𝐪⋅𝐫)
𝑑³𝐫
⎤
⎥
⎦
.
(6.50)
Величину в скобках принято называть атомным формфактором. (Заметим, что точно с таким же формфактором мы встречаемся при изучении рассеяния рентгеновских лучей. Действительно, в теории рассеяния рентгеновских лучей доказано, что в этом случае основную роль играют атомные электроны, а не ядро. Поэтому формфактор для рентгеновских лучей будет тем же самым, что и в случае рассеяния электронов на атоме, если не считать того, что для рентгеновских лучей не нужно учитывать фактор 𝑍.
В атоме потенциал изменяется по кулоновскому закону лишь при очень малых радиусах. С увеличением радиуса атомные электроны начинают постепенно экранировать (компенсировать) электрический заряд ядра до тех пор, пока при достаточно больших значениях 𝑟 потенциал не обратится в нуль. В очень грубом приближении эффект экранировки атомными электронами можно оценить с помощью формулы
𝑉(𝑟)
=
𝑍𝑑²
𝑟
𝑑
(𝑟/𝑎)
.
(6.51)
Через 𝑎 в этой формуле обозначен радиус атома. Заметим, что это не тот внешний радиус атома, которым пользуются химики; здесь 𝑎=𝑎0/𝑍1/3, где 𝑎0=ℏ²/𝑚𝑑²=0,528Å.
Задача 6.8. Покажите, что для потенциала (6.51)
𝑣(𝐪)
=
4π𝑍𝑒²ℏ²
𝑞²+(ℏ/𝑎)²
(6.52)
и, следовательно,
σ=𝑍
2
𝑒
4
⎧
⎨
⎩
𝑚𝑢²
2
⎡
⎢
⎣
4
⎧
⎪
⎩
sin
θ
2
⎫²
⎪
⎭
+
ℏ²
(𝑝𝑎)²
⎤
⎥
⎦
⎫-2
⎬
⎭
.
(6.53)
Полное эффективное сечение σ𝑇 определится как интеграл от сечения σ по поверхности единичной сферы, т.е.
σ
𝑇
=
4π
∫
0
σ𝑑
Ω
.
(6.54)
Покажите, что это сечение имеет вид
σ
𝑇
=
π𝑎²
𝑍
2
𝑒
4
1
(2𝑢ℏ)
2
1+
ℏ²
(2𝑝𝑎)²
(6.55)
Задача 6.9. Пусть мы хотим учесть тот факт, что атомное ядро имеет конечный радиус
𝑟
=
1,2⋅10
-13
×(массовое число)
1/3
см
(6.56)
в предположении, что заряд ядра распределён приблизительно равномерно внутри сферы такого радиуса. Спрашивается, как это предположение повлияет на эффективное сечение рассеяния электронов на атоме в области больших передач импульса 𝑞?
Покажите, каким образом отсюда может быть определён радиус ядра. Насколько велика должна быть величина импульса налетающих электронов 𝑝, чтобы стало заметным влияние структуры атомного ядра? Какие углы, большие или малые, следует при этом измерять более точно и почему?
Замечание. В эксперименте такого рода требуются настолько большие импульсы электронов, что для нахождения энергии фактически нужно пользоваться релятивистской формулой 𝐸=(𝑚2𝑐4+𝑐2𝑝2)½-𝑚𝑐2, поэтому, строго говоря, для описания взаимодействия мы уже не имеем права применять нерелятивистские формулы. Однако соотношение между импульсом и длиной волны и между энергией и частотой не изменяются при переходе в релятивистскую область. Поскольку это именно та длина волны, которая определяет разрешающую силу такого «электронного микроскопа», то использование (без конкретного вычисления импульса) нерелятивистских формул является вполне законным.
Задача 6.10. Рассмотрим двухатомную молекулу, состоящую из атомов 𝐴 и 𝐵, центры которых задаются векторами 𝑎 и 𝑏. Используя борновское приближение, покажите, что амплитуда рассеяния электрона на такой молекуле
𝐾
(1)
=
𝑒
(𝑖/ℏ)(𝐪⋅𝐚)
𝑓
𝐴
(𝐪)
+
𝑒
(𝑖/ℏ)(𝐪⋅𝐛)
𝑓
𝐵
(𝐪)
,
(6.57)
где 𝑓𝐴 и 𝑓𝐵 — амплитуды рассеяния электрона на отдельных атомах при допущении, что каждый из этих атомов располагался бы в начале системы координат. Межатомные связи слабо влияют на распределение заряда вокруг ядер (за исключением очень лёгких атомов, таких, как водород), так как силы этих связей действуют лишь на самые внешние электроны атомных оболочек.
Используя соотношение (6.57), покажите, что вероятность рассеяния при заданном значении передаваемого импульса 𝑝 пропорциональна сумме 𝑓²𝐴 + 𝑓²𝐵 + 2𝑓𝐴𝑓𝐴cos(𝐪⋅𝐝), где 𝐝=𝐚-𝐛.
Вычисленные в борновском приближении амплитуды 𝑓 являются действительными величинами и применимы для тех энергий электронов (порядка 1 кэв), которые обычно используются в дифракционных опытах с молекулами. Однако если молекула состоит из очень тяжёлых атомов, таких, как уран, то атомный потенциал 𝑉 становится настолько большим, что борновское приближение оказывается уже недостаточно точным для описания экспериментов. В этом случае необходимо внести небольшие поправки.
Задача 6.11. Предположим, что молекулы ориентированы совершенно случайным образом. Покажите, что эффективное сечение рассеяния электронов, усреднённое по совокупности таких молекул, пропорционально сумме 𝑓²𝐴 + 𝑓²𝐵 + 2𝑓𝐴𝑓𝐴 [sin (𝐪×𝐝)/(𝐪⋅𝐝)]. Как обобщить этот результат на случай многоатомных молекул?
Все эти результаты лежат в основе электронной дифракционной техники, позволяющей определять форму различных молекул.
