Часть сомножителей в формуле (6.40) определяется выбором способа нормировки нашего ядра. Поэтому формулу (6.40) более удобно рассматривать и представлять в виде некоторого отношения вероятностей. Сравним вероятность обнаружения рассеянной частицы в точке 𝑏 с вероятностью её обнаружения в точке 𝑑, если точки 𝑏 и 𝑑 расположены за атомом на одинаковом расстоянии 𝑅𝑎+𝑅𝑏 от источника (фиг. 6.7). Другими словами, рассчитаем отнесённую к единице объёма вероятность 𝑃(𝑑) так, как если бы на пути частицы не было ни одного атома. Это даст нам величину |𝐾(0)(𝑑,𝑎)|², т.е.
𝑃(𝑑)
ед. объёма
=
⎧
⎪
⎩
𝑚
2πℏ
⎫3
⎪
⎭
𝑢²
𝑇(𝑅𝑎+𝑅𝑏)²
,
(6.41)
так что
𝑃(𝑏)
𝑃(𝑑)
=
⎧
⎪
⎩
𝑚
2πℏ²
⎫2
⎪
⎭
|𝑣(𝐪)|²
(𝑅𝑎+𝑅𝑏)²
𝑅²𝑎+𝑅²𝑏
.
(6.42)
В § 5 мы дадим геометрическую интерпретацию этого отношения и более детально рассмотрим функцию 𝑉(𝐪).
Эффективное сечение рассеяния. Характеристики атома в экспериментах с рассеянием удобно описывать с помощью понятия эффективного сечения рассеяния 1). Привлекательность такого подхода обусловлена нашей привычкой к представлениям классической физики. Эффективное сечение а определяется как та эффективная площадь атома-мишени (в классическом смысле этого слова), которую должен иметь перед собой электрон, чтобы рассеяться в единичный телесный угол. Этот телесный угол измеряется относительно сферы, центр которой совпадает с центром атома. Эффективное сечение будет поэтому функцией угла рассеяния, т.е. функцией угла между векторами 𝐑𝑎 и 𝐑𝑏. С помощью такой классической модели мы можем выразить вероятность попадания электрона в заданную точку 𝑏.
1) В литературе вместо термина «эффективное сечение» часто используются также термины «поперечное сечение» или «эффективное поперечное сечение». Все эти термины совершенно эквивалентны.— Прим. ред.
Фиг. 6.8. Частицы бомбардируют площадку 𝑑σ мишени и отклоняются на угол θ, попадая на площадку, измеряемую телесным углом 𝑑Ω.
Если бы не произошло ни одного соударения, все частицы попали бы в точку 𝑑. Вместо этого они попадают в точку 𝑏, разбрасываясь по площади 𝑅²𝑏𝑑Ω. Вероятность обнаружить частицу в точке 𝑑 обратно пропорциональна площади, по которой распределится пучок в точке 𝑑.
Аналогично вероятность обнаружения частицы в точке 𝑏 обратно пропорциональна площади 𝑅²𝑏𝑑Ω, по которой распределится пучок рассеявшихся частиц, когда они долетят до точки 𝑏. Если взять отношение этих площадей, то получим обратную величину отношения соответствующих вероятностей. С этой точки зрения мы говорим, что все частицы, которые попадают на мишень площадью 𝑑σ рассеиваются на угол θ. В действительности, конечно, только немногие из частиц, попадающих на мишень, вообще рассеиваются и только часть из них — на угол θ. Итак, элемент площади 𝑑σ, который мы использовали в наших расчётах, есть аффективное поперечное сечение рассеяния на угол θ, отнесённое к единице телесного угла 𝑑Ω, в которой рассеиваются частицы.
Если частицы, вылетающие из начала координат, сталкиваются на расстоянии 𝑅𝑎 с мишенью площадью 𝑑σ то эти частицы уже не попадут в область 𝑑, где они имели бы разброс в круге с площадью [(𝑅𝑎+𝑅𝑏)/𝑅𝑎]²𝑑σ. Вместо этого они полетят в телесном угле 𝑑Ω в направлении 𝑏 и будут, следовательно, иметь разброс по площади 𝑅²𝑏𝑑Ω, как показано на фиг. 6.8. Поэтому отношение вероятности попадания частицы в точку 𝑏 к вероятности её попадания в точку 𝑑, на пути к которой не было соударений, равно обратному отношению этих площадей:
𝑃𝑏
𝑃𝑑
=
(𝑅𝑎+𝑅𝑏)² 𝑑σ /𝑅
2
𝑎
𝑅
2
𝑎 𝑑Ω
.
(6.43)
Сравнивая выражения (6.42) и (6.43), мы видим, что эффективное сечение рассеяния в единицу телесного угла есть
𝑑σ
𝑑Ω
=
⎧
⎪
⎩
𝑚
2πℏ²
⎫2
⎪
⎭
|𝑣(𝐪)|²
.
(6.44)
Основное преимущество такого применения понятия эффективного сечения по сравнению с рассмотренным выше соотношением (6. 40) заключается в том, что выражение (6.44) не зависит от конкретных экспериментальных условий. Поэтому эффективные сечения, полученные из разных экспериментов, можно сравнивать непосредственно, тогда как для вероятностей, отнесённых к единице объёма, такое сравнение невозможно.
Следует подчеркнуть, что понятие эффективной мишени является чисто классическим и представляет собой лишь удобный способ рассмотрения вероятностей рассеяния. Между величиной эффективного сечения и размерами рассеивающего атома не существует прямой связи и нельзя представлять себе, что механизм рассеяния локализован в области именно таких размеров. Например, тень, которая при классическом рассмотрении должна появиться позади мишени, на самом деле вовсе не будет обладать свойствами классической тени с резкими границами; так как мы имеем дело с волновым процессом, то эта тень будет искажена дифракцией.
Различные выражения для атомного потенциала. На примере конкретных задач здесь показаны результаты, полученные при различных предположениях о виде атомного потенциала 𝑉(𝑟).
Задача 6.6. Пусть мы имеем потенциал, соответствующий центральным силам, т.е. 𝑉(𝐫)=𝑉(𝑟). Покажите, что функция 𝑣(𝐪) может быть записана в виде
𝑣(𝐪)
=
𝑣(𝑞)
=
4πℏ
𝑞
∞
∫
0
𝑟
⎧
⎪
⎩
sin
𝑞𝑟
ℏ
⎫
⎪
⎭
𝑉(𝑟)
𝑑𝑟
.
(6.45)
Если допустить, что 𝑉(𝑟) является кулоновским потенциалом 𝑍𝑒²/𝑟, то интеграл в выражении для 𝑣(𝑞) оказывается осциллирующим вблизи верхнего предела, т.е. при 𝑟→∞. Тем не менее такой интеграл можно сделать сходящимся с помощью искусственного введения в подынтегральное выражение множителя 𝑒-ε𝑟 и после вычисления интеграла перейти к пределу при ε→0. Используя этот приём, покажите, что в итоге получается сечение резерфордовского рассеяния
σ
𝑅
=
4𝑍𝑒4𝑚2
𝑞4
=
𝑍𝑒4
16(𝑚𝑢²/2)[sin(θ/2)]4
,
(6.46)
где 𝑒 — заряд электрона,
𝑞
=
2𝑝 sin
θ
2
=
2𝑚𝑢 sin
θ
2
,
(6.47)
а θ — угол между векторами 𝐢𝑎 и 𝐢𝑏.
Результат, полученный в задаче 6.6, случайно оказывается точным в том смысле, что первое борновское приближение даёт точную величину вероятности рассеяния на кулоновском потенциале. Это не означает, что члены высшего порядка обратятся в нуль; дело в том, что они вносят вклад лишь в фазу амплитуды рассеяния. Поскольку вероятность равна квадрату модуля амплитуды, она не зависит от фазы. Таким образом, первое борновское приближение даёт правильное значение вероятности рассеяния, но не является точным выражением для амплитуды. Случай кулоновского рассеяния любопытен ещё и по ряду других причин. В частности, строго классическое (т.е. проделанное в предположении, что электрон ведёт себя как заряженная точечная масса) исследование этого рассеяния приводит к тому же самому результату.
