амплитуда
=
∫
⎧
⎨
⎩
exp
⎡
⎢
⎣
𝑖
ℏ
𝑆
част
+𝑆
взаим
+𝑆
поле
⎤
⎥
⎦
⎫
⎬
⎭
∏
𝑖,𝐤
×
×
𝒟𝐪
𝑖
𝒟𝑎
1𝐤
𝒟𝑎
2𝐤
.
(9.44)
Интегрирование по координатам осцилляторов поля излучения может быть выполнено сразу же, так как все они входят в выражение (9.44) лишь квадратичным образом. Это интегрирование и будет проделано далее.
Излучение атома. Одна из трудностей рассматриваемой проблемы заключается в громоздкости выражений, что обусловлено большим числом координат и импульсов. Поэтому, чтобы уяснить суть дела, начнём с простого случая. Будем решать задачу о вероятности излучения света отдельным атомом, применяя теорию возмущений (предполагается, что взаимодействие света и вещества, которому соответствует 𝑆взаим мало и разложение ведётся только до членов первого порядка малости).
Если пренебречь функцией действия 𝑆взаим то поле излучения и вещество можно рассматривать как независимые системы. Допустим, что состояния свободного атома с волновыми функциями Ψ𝑁(𝐪) имеют энергии 𝑒𝑁, где 𝑁=0, 1, 2 …, а символом 𝐪 обозначены радиусы-векторы 𝐪𝑖 всех частиц атома. Состояние поля излучения можно определить заданием всех целочисленных значений 𝑛1𝑘 и 𝑛2𝑘.
Энергетические уровни полной системы (излучение плюс вещество при отсутствии взаимодействия между ними) равны
𝐸
=
𝑒
𝑁
+
∑
𝐤
(
𝑛
1𝐤
+
𝑛
2𝐤
)
ℏ𝑘𝑐
.
(9.45)
Волновая функция этого состояния записывается в виде произведения
Ψ
=
ψ
𝑁
(𝐪)
Φ(𝑛
1𝐤
,𝑛
2𝐤
)
,
(9.46)
где Φ(𝑛1𝐤,𝑛2𝐤) — волновая функция поля излучения (произведение волновых функций гармонических осцилляторов).
Чтобы рассмотреть излучение фотона атомом, выберем такое начальное состояние, когда атом находится на некотором уровне 𝑀, а внешних фотонов нет совсем (все числа 𝑛1𝐤 и 𝑛2𝐤 равны нулю). Соответствующая волновая функция равна
Ψ
𝑖
=
ψ
𝑀
(𝐪)
Φ
0
,
(9.47)
где Φ0 берётся в виде (9.43). В конечном состоянии атом находится на другом уровне 𝑁 и, кроме того, имеется один фотон, скажем, с импульсом 𝐥 и поляризацией 1. В соответствии с задачей 9.8 волновая функция поля излучения имеет вид 𝑎*1𝑙Φ0, поэтому волновая функция конечного состояния всей системы есть
Ψ
𝑓
=
⎧
⎪
⎩
2𝑙𝑐
ℏ
⎫½
⎪
⎭
Ψ
𝑁
(𝐪)
𝑎
*
1𝑙
Φ
0
(9.48)
Чтобы найти вероятность перехода за единицу времени (с точностью первого порядка), необходимо в соответствии с формулой (6.79) вычислить матричный элемент 𝑉𝑓𝑖 возмущающего потенциала между этими состояниями. Функция действия для возмущения определяется формулой (9.32), а соответствующий ей потенциал имеет вид
𝑉
=
√
4π
∑
(
𝑎
*
1𝐤
𝑗
1𝐤
+
𝑎
1𝐤
𝑗
*
1𝐤
),
𝐤
(9.49)
где, как и в задаче 9.2, ток 𝑗1𝐤 зависит от переменных, связанных с атомом. Этот матричный элемент равен
𝑉
𝑓𝑖
=
∫
ψ
*
𝑁
Φ
*
0
⎧
⎪
⎩
2𝑙𝑐
ℏ
⎫½
⎪
⎭
𝑎
1𝑙
×
×
∑
√
4π
(
𝑎
*
1𝐤
𝑗
1𝐤
+
𝑎
1𝐤
𝑗
*
1𝐤
)
ψ
𝑀
Ψ
0
𝑑𝑞
∏
𝑑𝑎
1𝐤
,
𝐤
𝐤
(9.50)
или, в другом виде,
𝑉
𝑓𝑖
=
∑
𝐤
⎧
⎪
⎩
8π𝑙𝑐
ℏ
⎫½
⎪
⎭
∫
Φ
*
0
𝑎
1𝑙
𝑎
*
1𝐤
Φ
0
∏
𝐤
𝑑𝑎
1𝐤
∫
ψ
*
𝑁
𝑗
1𝐤
ψ
𝑀
𝑑𝑞
+
+
∑
𝐤
∫
⎧
⎪
⎩
8π𝑙𝑐
ℏ
⎫½
⎪
⎭
Φ
*
0
𝑎
1𝑙
𝑎
1𝐤
Φ
0
∏
𝐤
𝑑𝑎
1𝐤
∫
ψ
*
𝑁
𝑗
*
1𝐤
ψ
𝑀
𝑑𝑞
,
(9.51)
так как от координат 𝑞 здесь зависит только ток 𝑗. Ожидаемые значения произведения величин 𝑎 для вакуумного состояния рассматривались в задаче 9.7, где было, в частности, установлено, что интеграл
∫
Φ
*
𝑎
𝑎
1𝑙
𝑎
*
1𝐤
Φ
0
∏
𝐤
𝑑𝑎
1𝐤
=0
есть нуль во всех случаях, за исключением одного, а именно при 𝑘=𝑙, когда он равен ℏ/2𝑙𝑐. Обозначим матричный элемент ∫ψ*𝑁𝐣ψ𝑀𝑑𝑞 как (𝐣)𝑁𝑀. Тогда матричный элемент - 𝑉𝑓𝑖 запишется в виде √2πℏ/𝑙𝑐(𝑓1𝑙)𝑁𝑀. Вероятность перехода за единицу времени при этом равна [ср. формулу (6.94)]
⎧
⎪
⎩
2π
ℏ
⎫
⎪
⎭
⎧
⎪
