𝐹(𝑡

_𝑐

)

=

_∞

∫

^-∞

𝐾

₀

(𝑏,𝑐)

𝑉(𝑥

_𝑐

,𝑡

_𝑐

)

𝐾

₀

(𝑐,𝑎)

𝑑𝑥

_𝑐

.

(6.10)

Подстановка этого выражения в соотношение (6.8) даёт

𝐾

⁽¹⁾

(𝑏,𝑎)

=-

𝑖

ℏ

_𝑡𝑏

∫

^𝑡_𝑎

_∞

∫

^-∞

𝐾

₀

(𝑏,𝑐)

𝑉(𝑐)

𝐾

₀

(𝑐,𝑎)

𝑑𝑥

_𝑐

𝑑𝑡

_𝑐

,

(6.11)

где 𝑉(𝑐)=𝑉(𝑥_𝑐,𝑡_𝑐).

Пределы интегрирования по 𝑥 здесь положены равными +∞. В практических задачах эти пределы обычно определяются видом потенциала, который в большинстве случаев спадает до нуля при очень больших значениях 𝑥, или свойствами применённых установок, которые ограничивают область изменения 𝑥.

Интерпретация членов ряда. Чтобы лучше понять физический смысл очень важного и полезного соотношения (6.11), мы специально остановимся на его интерпретации. Назовём процесс взаимодействия между потенциальным полем и частицей рассеянием; так, мы будем говорить, что частица рассеивается на потенциале и что амплитуда такого рассеяния на единицу объёма и единицу времени равна -(𝑖/ℏ)𝑉.

Учитывая это определение, мы можем интерпретировать ядро 𝐾_𝑉 следующим образом. Это ядро представляет собой, очевидно, сумму, взятую по всем альтернативным путям, по которым частица может попасть из точки 𝑎 в точку 𝑏. Эти возможности следующие:

1) частица может вообще не рассеяться

𝐾

₍₀₎

(𝑏,𝑎)

,

2) частица может рассеяться один раз

𝐾

₍₁₎

(𝑏,𝑎)

,

3) частица может рассеяться дважды

𝐾

₍₂₎

(𝑏,𝑎)

и т. д.

В соответствии с такой интерпретацией на фиг. 6.2 изображены различные траектории частицы.

Фиг. 6.2. Различные случаи рассеяния.

В случае 1 частица под действием потенциала 𝑉 движется от точки 𝑎 до точки 𝑏, не рассеиваясь. Такое движение описывается амплитудой 𝐾₍₀₎(𝑏,𝑎). В случае 2 частица в своём движении под действием потенциала 𝑉 испытывает один акт рассеяния в точке 𝑐. Этому соответствует амплитуда 𝐾⁽¹⁾(𝑏,𝑎). В случае 3 частица рассеивается дважды [амплитуда 𝐾₍₂₎(𝑏,𝑎)], а в случае 4 — 𝑛 раз, причём последнее рассеяние происходит в точке 𝑐. Полная амплитуда, описывающая движение частицы из точки 𝑎 в точку 𝑏 при любом числе рассеяний, является суммой 𝐾₀+𝐾⁽¹⁾+𝐾⁽²⁾+…+𝐾^(𝑛)+….

Заметим, что каждая из перечисленных выше альтернатив в свою очередь является суммой альтернатив ¹). Рассмотрим, например, ядро 𝐾⁽¹⁾(𝑏,𝑎), описывающее однократное рассеяние. Этому ядру соответствует, в частности, следующая альтернативная траектория: частица начинает двигаться из точки 𝑎, движется свободно до точки 𝑥_𝑐(𝑡_𝑐=𝑐), где она рассеивается на потенциале 𝑉(𝑐), после чего снова движется как свободная частица из точки 𝑐 до конечной точки 𝑏. Амплитуда, соответствующая такой траетории, равна

𝐾

₍₀₎

(𝑏,𝑐)

⎡

⎢

⎣

-

𝑖

ℏ

𝑉(𝑐)

𝑑𝑥

_𝑐

𝑑𝑡

_𝑐

⎤

⎥

⎦

𝐾

₍₀₎

(𝑐,𝑎)

.

(6.12)

¹) Поскольку даже однократное рассеяние может происходить в различных точках 𝐶, суммирование по всем альтернативам является совершенно необходимым.— Прим. перев.

(Следует напомнить, что, согласно используемой нами договорённости, можно проследить за движением частицы, читая эту формулу в обратном порядке, т.е. справа налево.)

Структура амплитуды (6.12) согласуется с правилом, сформулированным в § 5 гл. 2, а именно амплитуды вероятности последовательных во времени событий перемножаются. В соответствии с равенством (6.11) полное выражение для ядра 𝐾⁽¹⁾ получается сложением всех таких альтернатив, т.е. интегрированием по переменным 𝑥_𝑐 и 𝑡_𝑐.

С помощью этих рассуждений мы можем сразу написать ядро 𝐾⁽²⁾ для двухкратного рассеяния в виде

𝐾

⁽²⁾

(𝑏,𝑎)

=

⎧

⎪

⎩

-

𝑖

ℏ

⎫²

⎪

⎭

∫∫

𝐾

₍₀₎

(𝑏,𝑐)

𝑉(𝑐)

𝐾

₍₀₎

(𝑐,𝑑)

×

×

𝑉(𝑑)

𝐾

₍₀₎

(𝑑,𝑎)

𝑑τ

_𝑐

𝑑τ

_𝑑

,

(6.13)

где 𝑑τ=𝑑𝑥𝑑𝑡. Эта формула, будучи прочитана справа налево, означает следующее: частица движется свободно от точки 𝑎 до точки 𝑑 и здесь рассеивается на потенциале, который в этой точке равен 𝑉(𝑑). Затем частица снова движется свободно от точки 𝑑 до точки 𝑐, где она рассеивается на потенциале 𝑉(𝑐). После чего частица движется от точки 𝑐 к точке 𝑏 опять как свободная частица. Мы суммируем по всем альтернативам, т.е. по всем пространственным точкам и моментам времени, где может произойти такое рассеяние.

Здесь мы молчаливо предполагали, что 𝑡_𝑐>𝑡_𝑑. Чтобы избежать усложнений, связанных с явным введением этого предположения в каждом, примере, будем пользоваться условием, введённым ранее в гл. 4 [см. соотношение (4.28)], и предполагать, что

𝐾(𝑏,𝑎)

=0 для 𝑡

_𝑏

<𝑡

_𝑎

.

(6.14)

Тогда равенство (6.13) будет выполняться без каких-либо ограничений во всей области интегрирования по переменным 𝑡_𝑐 и 𝑡_𝑑.

Читателя может заинтересовать вопрос, что произошло с коэффициентом ½, который, как легко видеть, был в формуле (6.7) и кажется пропущенным в соотношении (6.13). Отметим, что в формуле (6.13) область интегрирования по переменной 𝑡_𝑑 по-прежнему заключена в пределах от 𝑡_𝑎 до 𝑡_𝑏. Однако область интегрирования по переменной 𝑡_𝑐 ограничена тем, что точка 𝑡_𝑐 обязана теперь находиться между точками 𝑡_𝑑 и 𝑡_𝑏 вследствие условия (6.14). Такое ограничение уменьшает величину интеграла ровно на половину. Чтобы увидеть это более ясно, представим двойной интеграл (6.7) в виде

_𝑡𝑏

∫

^𝑡_𝑎

_𝑡𝑏

∫

^𝑡_𝑎

𝑉[𝑥(𝑠),𝑠]

𝑉[𝑥(𝑠'),𝑠']

𝑑𝑠'

𝑑𝑠

=

=

_𝑡𝑏

∫

^𝑡_𝑎

_𝑡𝑏

∫

^𝑠

𝑉[𝑥(𝑠),𝑠]

𝑉[𝑥(𝑠'),𝑠']

𝑑𝑠'

𝑑𝑠

+

+

_𝑡𝑏