∫
𝑡𝑎
𝑠
∫
𝑡𝑎
𝑉[𝑥(𝑠),𝑠]
𝑉[𝑥(𝑠'),𝑠']
𝑑𝑠'
𝑑𝑠
.
(6.15)
Первый член в правой части этого соотношения удовлетворяет ограничениям, накладываемым условием (6.14). После изменения порядка интегрирования второй член справа можно записать как
𝑡𝑏
∫
𝑡𝑎
𝑡𝑏
∫
𝑠'
𝑉[𝑥(𝑠),𝑠]
𝑉[𝑥(𝑠'),𝑠']
𝑑𝑠'
𝑑𝑠
(6.16)
Если в этом выражении поменять местами переменные 𝑠 и 𝑠', то величина интеграла не изменится. Следовательно, первый и второй члены в правой части соотношения (6.15) равны и каждый из них есть половина величины первоначального интеграла. С помощью аналогичных соображений в выражении для ядра 𝐾(𝑛) получается коэффициент 1/𝑛!
Задача 6.1. Допустим, что потенциал может быть записан как сумма 𝑈+𝑉, где 𝑉 мало по сравнению с 𝑈. Далее, пусть ядро, описывающее движение под действием одного из этих потенциалов, вычислимо (например, потенциал 𝑈 может быть квадратичным по переменной 𝑥; и не зависеть от времени). Покажите, что движение под действием суммарного потенциала 𝑈+𝑉 описывается соотношениями (6.4), (6.11), (6.13) и (6.14), если ядро 𝐾0 заменить ядром 𝐾𝑈, соответствующим движению только лишь под действием потенциала 𝑈. Таким образом, 𝑉 можно рассматривать как возмущение потенциала 𝑈. Можно сказать, что -(𝑖/ℏ)𝑉 представляет собой амплитуду вероятности рассеяния, обусловленного возмущающей частью потенциала (в расчёте на единицу объёма и на единицу времени). Ядро 𝐾𝑈 — амплитуда, описывающая движение системы под действием невозмущённого потенциала 𝑈.
Задача 6.2. Предположим, что система состоит из двух частиц, взаимодействие которых описывается потенциалом 𝑉(𝑥,𝑦), где 𝑥 — координата первой, а 𝑦 — координата второй частицы [ср. § 8 гл. 3 и выражение (3.75)]. Если не учитывать этого взаимодействия, то движение частиц будет свободным.
Если потенциал равен нулю, то 𝐾𝑉 — просто произведение двух ядер, соответствующих свободным частицам. Используя этот факт, получите ряд теории возмущений для величины 𝐾𝑉(𝑥𝑏, 𝑦𝑏, 𝑡𝑏; 𝑥𝑎, 𝑦𝑎, 𝑡𝑎). Спрашивается, какими физическими соображениями диктуются различные члены этого ряда?
§ 2. Интегральное уравнение для ядра 𝐾𝑉
Прежде чем применить результаты предыдущих параграфов к изучению конкретных примеров, получим некоторые общие математические соотношения, включающие ядра и волновые функции для систем, движущихся в потенциальном поле. Используя предыдущие результаты, можно записать соотношение (6.4) в виде
𝐾
𝑉
(𝑏,𝑎)
=
𝐾
0
(𝑏,𝑎)
-
𝑖
ℏ
∫
𝐾
0
(𝑏,𝑐)
𝑉(𝑐)
𝐾
0
(𝑐,𝑎)
𝑑τ
𝑐
+
+
⎧
⎪
⎩
-
𝑖
ℏ
⎫
⎪
⎭
∫∫
𝐾
0
(𝑏,𝑐)
𝑉(𝑐)
𝐾
0
(𝑐,𝑑)
𝑉(𝑑)
𝐾
0
(𝑑,𝑎)
𝑑τ
𝑐
𝑑τ
𝑎
+… .
(6.17)
Это выражение можно представить и в другом виде:
𝐾
𝑉
(𝑏,𝑎)
=
𝐾
0
(𝑏,𝑎)
-
𝑖
ℏ
∫
𝐾
0
(𝑏,𝑐)
𝑉(𝑐)
[
𝐾
0
(𝑐,𝑎)
-
-
𝑖
ℏ
∫
𝐾
0
(𝑐,𝑑)
𝑉(𝑑)
𝐾
0
(𝑑,𝑎)
𝑑τ
𝑑
+…]
𝑑τ
𝑐
.
(6.18)
Выражение в скобках имеет такой же вид, как и правая часть соотношения (6.17); суммирование в обоих случаях производится по бесконечному числу членов. Это означает, что ядро 𝐾𝑉 можно записать как
𝐾
𝑉
(𝑏,𝑎)
=
𝐾
0
(𝑏,𝑎)
-
𝑖
ℏ
∫
𝐾
0
(𝑏,𝑐)
𝑉(𝑐)
𝐾
0
(𝑐,𝑎)
𝑑τ
𝑐
.
(6.19)
что является точным выражением. Мы получили интегральное уравнение, определяющее ядро 𝐾𝑉, в случае, когда известно ядро 𝐾0 (заметим, что для ситуации, описанной в задаче 6.1, ядро 𝐾0 нужно заменить на 𝐾𝑈). Следовательно, проблема интегрирования по траекториям сведена нами к решению интегрального уравнения.
Физически этот результат можно интерпретировать следующим образом. Полная амплитуда перехода системы из точки 𝑎 в точку 𝑏 посредством любого числа актов рассеяния может быть представлена как сумма двух амплитуд. Первая из них — амплитуда вероятности того, что движение частцы происходит без рассеяния (ядро 𝐾0). Вторая — амплитуда перехода, происходящего с одним или большим числом рассеяний. Эта амплитуда выражается последним членом соотношения (6.19). Точка 𝑐 здесь может мыслиться как точка, в которой происходит последнее рассеяние. Таким образом, система движется от точки 𝑎 до точки 𝑐 в потенциальном поле, и это её движение точно описывается ядром 𝐾𝑉(𝑐,𝑎). Затем в точке 𝑐 происходит последнее рассеяние, после чего система совершает переход как свободная (без рассеяний) в точку 𝑏. Эта часть движения описывается ядром 𝐾0. Все сказанное выше иллюстрируется фиг. 6.3.
Фиг. 6.3. Общий случай.
В случае 1 частица, на которую действует потенциал 𝑉, движется от точки 𝑎 до точки 𝑏 как свободная; это описывается амплитудой 𝐾0(𝑏,𝑎) В случае 2 частица рассеивается на потенциале 𝑉 один или большее число раз, причём последнее рассеяние происходит в точке 𝑐. Движение из точки 𝑎 в точку 𝑐 описывается ядром 𝐾𝑉(𝑐,𝑎) а из точки 𝑐 в точку 𝑏 — ядром 𝐾0(𝑏,𝑐). Комбинация этих двух случаев, в которой учтены все положения точки 𝑐, охватывает все возможности и даёт для 𝐾𝑉(𝑏,𝑎) уравнение (6.19).
Последнее рассеяние может произойти в любой точке пространства и времени в промежутке между точками 𝑎 и 𝑏, поэтому амплитуда для сложного движения, представленная подынтегральным выражением в последнем члене формулы (6.19), должна быть проинтегрирована по всем возможным положениям точки 𝑐.
Задача 6.3. Для свободной частицы уравнение (4.29) сводится к следующему:
-
ℏ
𝑖
∂
∂𝑡𝑏
𝐾
0
(𝑏,𝑎)
+
ℏ²
2𝑚
∂²
∂𝑥²𝑏
𝐾
0
(𝑏,𝑎)
=
𝑖ℏ
δ(𝑡
𝑏
-𝑡
𝑎
)
δ(𝑥
𝑏
-𝑥
𝑎
)
.
(6.20)
Используя это уравнение и уравнение (6.19), покажите, что ядро 𝐾𝑉 удовлетворяет дифференциальному уравнению
