∑
𝑐
…𝑎
|𝐹
𝑎,𝑏,𝑐,…
|²
.
(5.40)
Необходимость вычисления подобных средних значений часто возникает при решении квантовомеханических задач. Поэтому полезно иметь формулы, упрощающие такие вычисления. Этот вопрос, связанный с операторами, уже обсуждался вкратце в § 1 гл. 4. Здесь мы получим несколько дополнительных результатов. Однако нигде в данной книге мы не будем обстоятельно излагать операторное исчисление, поскольку имеется целый ряд блестящих работ, посвящённых этому вопросу (см., например, [24]).
Операторы. Попытаемся выразить ожидаемое значение величины 𝐴 непосредственно с помощью исходной волновой функции 𝑓(𝑥). Для этого прежде всего заметим, что квадрат абсолютного значения функции 𝐹𝑎,𝑏,𝑐,… можно записать как
|𝐹
𝑎,𝑏,𝑐,…
|²
=
𝐹
*
𝑎,𝑏,𝑐,…
𝐹
𝑎,𝑏,𝑐,…
.
(5.41)
Используя формулу (5.36), получаем
⟨𝐴⟩
=
∑
𝑎
∑
𝑏
∑
𝑐
…𝑎
∞
∫
-∞
χ
𝑎,𝑏,𝑐,…
(𝑥)
𝑓*(𝑥)
𝑑𝑥
×
×
∞
∫
-∞
χ
*
𝑎,𝑏,𝑐,…
(𝑥')
𝑓(𝑥')
𝑑𝑥'
=
∞
∫
-∞
𝑓*(𝑥)
𝑅(𝑥)
𝑑𝑥
.
(5.42)
Во второй строке этого равенства мы обозначили
𝑅(𝑥)
=
∞
∫
-∞
𝐺
𝐴
(𝑥,𝑥')
𝑓(𝑥')
𝑑𝑥'
,
(5.43)
где
𝐺
𝐴
(𝑥,𝑥')
=
∑
𝑎
∑
𝑏
∑
𝑐
…𝑎
χ
𝑎,𝑏,𝑐,…
(𝑥)
χ
*
𝑎,𝑏,𝑐,…
(𝑥')
.
(5.44)
Соотношение (5.43) говорит о том, что функция 𝑅(𝑥) получается из функции 𝑓(𝑥) в результате интегрирования, выполненного с помощью соответствующего величине 𝐴 линейного интегрального оператора 𝐺𝐴(𝑥,𝑥'). Соотношения, подобные (5.43), часто символически записываются в виде
𝑅
=
𝒜𝑓
,
(5.45)
где символом 𝒜 обозначен линейный оператор, действующий на функцию 𝑓. В данном случае 𝒜 означает операцию, которую следует выполнить в правой части соотношения (5. 43), т.е. умножение на функцию 𝐺𝐴 и интегрирование. Оператор 𝒜 сопоставлен физической величине 𝐴. Используя эти обозначения, можно написать
⟨𝐴⟩
=
∞
∫
-∞
𝑓*(𝑥)
𝒜𝑓(𝑥)
𝑑𝑥
=
=
∞
∫
-∞
∞
∫
-∞
𝑓*(𝑥)
𝐺
𝐴
(𝑥,𝑥')
𝑓(𝑥')
𝑑𝑥
𝑑𝑥'
.
(5.46)
Задача 5.8. Отметим, что из формулы (5.44) следует равенство 𝐺*𝐴(𝑥,𝑥') = 𝐺𝐴(𝑥',𝑥). Принимая во внимание этот факт, покажите, что для любых двух волновых функций 𝑔(𝑥) и 𝑓(𝑥), каждая из которых стремится к нулю, когда 𝑥→±∞,
∞
∫
-∞
𝑔*(𝑥)
𝒜𝑓(𝑥)
𝑑𝑥
=
∞
∫
-∞
[𝒜𝑔(𝑥)]*
𝑓(𝑥)
𝑑𝑥
.
(5.47)
Всякий оператор, подобный 𝒜, для которого имеет место равенство (5.47), называется эрмитовым [ср. равенство (4.30)].
Задача 5.9. Преобразующая функция перехода от пространственного к импульсному представлению имеет вид
χ
𝑎,𝑏,𝑐,…
(𝐫)
=
𝑒
(𝑖/ℏ)𝐩⋅𝐫
(5.48)
(см. задачу 5.6). В качестве физической величины 𝐴 выберем 𝑥- компоненту импульса 𝑝𝑥. Покажите, что функция 𝐺𝐴 имеет вид
𝐺
𝑝𝑥
(𝑥,𝑥')
=
ℏ
𝑖
δ'(𝑥-𝑥')
δ(𝑦-𝑦')
δ(𝑧-𝑧')
,
(5.49)
где δ'(𝑥)=(𝑑/𝑑𝑥)δ(𝑥). Используя этот результат, определите оператор, соответствующий 𝑥-компонете импульса, и покажите, что ожидаемое значение этой компоненты можно записать как
⟨𝑝
𝑥
⟩
=
∞
∫
-∞
𝑓*(𝑥)
ℏ
𝑖
∂𝑓
∂𝑥
𝑑𝑥
.
(5.50)
Задача 5.10. Предположим, что величина 𝐴 является пространственной координатой 𝑥. Покажите, что правильная формула для среднего значения 𝑥 получается в том случае, если функция 𝐺𝑥(𝑥,𝑥') выбрана в виде
𝐺
𝑥
(𝑥,𝑥')
=
𝑥
δ(𝑥-𝑥')
δ(𝑦-𝑦')
δ(𝑧-𝑧')
,
(5.51)
а оператор, соответствующий координате 𝑥, представляет собой просто умножение на 𝑥, т.е.
𝓧
𝑓(𝑥)
=
𝑥
𝑓(𝑥)
.
(5.52)
Собственныефункции и собственные значения. Действие оператора 𝒜 на волновые функции χ𝑎,𝑏,𝑐,…, определённые в § 2 гл. 5, имеет очень простой вид:
𝒜
χ𝑎,𝑏,𝑐,…
(𝑥)
=
𝑎
χ𝑎,𝑏,𝑐,…
(𝑥)
.
(5.53)
Задача 5.11. Докажите справедливость этого соотношения. В том случае, когда функция χ удовлетворяет уравнению, подобному (5.53), мы будем говорить, что χ является собственной функцией оператора 𝒜, соответствующей его собственному значению 𝑎.
Если две физические величины измеримы одновременно, то операторы, соответствующие этим величинам, например 𝒜 и ℬ, будут удовлетворять некоторому интересному соотношению, а именно 𝒜(ℬ𝑓)=ℬ(𝒜𝑓). Это значит, что результат последовательного действия двух операторов не зависит от того, в каком порядке они расположены. Тогда говорят, что операторы коммутируют друг с другом:
𝒜ℬ
=
ℬ𝒜
Вообще говоря, мы не можем ожидать, что два любых оператора коммутируют, однако в данном частном случае это имеет место. Причина заключается в том, что физические величины 𝐴 и 𝐵 являются измеримыми одновременно; они могут составлять часть набора измеримых величин 𝐴, 𝐵, 𝐶, …, соответствующих одной и той же характеристической функции 𝑎,𝑏,𝑐,…. Если в уравнении (5.53) оператор ℬ поместить перед оператором 𝒜, а величину 𝑏 поставить перед 𝑎, то равенство не нарушится, так что
