Пусть наша экспериментальная установка способна измерять все эти величины, т.е. позволяет нам выяснить, обладает ли данное состояние таким свойством, при котором значение величины 𝐴 равно 𝑎, и т.д. Мы назовём характеристической функцией такого свойства функцию

𝑔*(𝑥)

=

χ

_*

^{𝑎,𝑏,𝑐,…}

(𝑥)

.

(5.33)

Эта функция зависит, конечно, от чисел 𝑎,𝑏,𝑐,…, для измерения которых ставится эксперимент, а также от координаты 𝑥.

Предположим, что система находится в состоянии 𝑓(𝑥). Тогда вероятность того, что эксперимент даёт для 𝐴 значение, равное 𝑎, для 𝐵 — значение, равное 𝑏, и т.д. (другими словами, вероятность того, что состояние обладает интересующим нас свойством), есть

𝑃(𝑎,𝑏,𝑐,…)

=

⎪

⎪

⎪

∫

χ

_*

^{𝑎,𝑏,𝑐,…}

(𝑥)

𝑓(𝑥)

𝑑𝑥

⎪²

⎪

⎪

.

(5.34)

Преобразующие функции. Пусть система заведомо находится в состоянии χ_{𝑎',𝑏',𝑐',…}, т.е. значение переменной 𝐴 равно 𝑎' и т.д. Тогда вероятность того, что в нашем эксперименте система будет обнаружена в состоянии, описываемом величинами 𝑎,𝑏,𝑐,…, равна нулю, если не выполнены равенства 𝑎'=𝑎, 𝑏'=𝑏, 𝑐'=𝑐, …. Это значит, что с учётом соответствующих нормирующих множителей

_∞

∫

^-∞

χ

_*

^{𝑎,𝑏,𝑐,…}

(𝑥)

χ

_{𝑎',𝑏',𝑐',…}

(𝑥)

𝑑𝑥

=

δ(𝑎-𝑎')

δ(𝑏-𝑏')

δ(𝑐-𝑐')

.

(5.35)

Функция χ_{𝑎,𝑏,𝑐,…}(𝑥) представляет собой амплитуду вероятности обнаружения системы в положении 𝑥, если она находится в состоянии, описываемом величинами 𝑎,𝑏,𝑐,…. Функция χ^*_{𝑎,𝑏,𝑐,…}(𝑥), которую мы назвали характеристической функцией, является амплитудой вероятности обнаружить систему в состоянии, определяемом величинами 𝑎,𝑏,𝑐,…, если известно, что она находится в положении 𝑥.

Пусть мы знаем, что состояние системы описывается функцией 𝑓(𝑥); тогда выражение

𝐹

_{𝑎,𝑏,𝑐,…}

=

_∞

∫

^-∞

χ

_*

^{𝑎,𝑏,𝑐,…}

𝑓(𝑥)

𝑑𝑥

(5.36)

есть не что иное, как амплитуда вероятности найти систему в состоянии, при котором величина 𝐴 имеет значение 𝑎, величина 𝐵 — значение 𝑏 и т.д.

Величины 𝐸_{𝑎,𝑏,𝑐,…} могут применяться для описания состояний системы с тем же успехом, что и функция 𝑓(𝑥,𝑦,𝑧,…) Действительно, если мы знаем 𝐹_{𝑎,𝑏,𝑐,…}, то с помощью обратного преобразования можем восстановить и функцию 𝑓(𝑥,𝑦,𝑧,…).

Функция 𝐹_{𝑎,𝑏,𝑐,…} называется 𝐴𝐵𝐶…- представлением данного состояния. Примером такого рода может служить импульсное представление, которое мы рассматривали в предыдущем параграфе. Функция 𝑓(𝑥,𝑦,𝑧,…) является обычным координатным или 𝑥𝑦𝑧…- представлением состояния. Переход от одного представления к другому осуществляется с помощью функций χ и χ*. В частности, χ^*_{𝑎,𝑏,𝑐,…}(𝑥,𝑦,𝑧,…)— преобразующая функция перехода от координатного представления к 𝐴𝐵𝐶…-представлению, тогда как χ_{𝑎,𝑏,𝑐,…}(𝑥,𝑦,𝑧,…)— преобразующая функция обратного перехода. Таким образом, преобразование, обратное преобразованию (5.36), имеет вид

𝑓(𝑥,𝑦,𝑧,…)

=

∑

^𝑎

∑

^𝑏

∑

^𝑐

…

𝐹

_{𝑎,𝑏,𝑐,…}

χ

_{𝑎,𝑏,𝑐,…}

(𝑥,𝑦,𝑧,…)

.

(5.37)

Это говорит о том, что амплитуда вероятности обнаружить систему в положении 𝑥 равна сумме по всем возможным значениям величин 𝑎,𝑏,𝑐,… произведений двух функций: 𝐸_{𝑎,𝑏,𝑐,…}— амплитуды вероятности обнаружить систему с 𝐴=𝑎, 𝐵=𝑏, … и χ_{𝑎,𝑏,𝑐,…}(𝑥)— амплитуды вероятности обнаружения системы в положении 𝑥 при условии, что 𝐴=𝑎, 𝐵=𝑏, ….

Задача 5.5. Предположим, что функцию 𝑓(𝑥,𝑦,𝑧,…) можно записать в виде

𝑓(𝑥,𝑦,𝑧,…)

=

∑

^𝑎

∑

^𝑏

∑

^𝑐

…

𝐹'

_{𝑎,𝑏,𝑐,…}

χ

_{𝑎,𝑏,𝑐,…}

(𝑥,𝑦,𝑧,…)

.

(5.38)

Подставляя это соотношение в формулу (5.36) и используя свойство ортогональности функций χ (5.35), покажите, что

𝐹'

_{𝑎,𝑏,𝑐,…}

=

𝐹

_{𝑎,𝑏,𝑐,…}

Задача 5.6. Пусть 𝐴, 𝐵, 𝐶 — три декартовы компоненты импульса 𝑝_𝑥, 𝑝_𝑦, 𝑝_𝑧. Каков вид функции χ_{𝑎,𝑏,𝑐}(𝑥,𝑦,𝑧)? Используя результаты § 2 гл. 5, проверьте соотношения, полученные в § 1 гл. 5.

Задача 5.7. Предположим, что 𝐴𝐵𝐶…-представление не является ни координатным, ни импульсным, а есть некое третье представление состояния системы. Допустим, что нам известна функция χ_{𝑎,𝑏,𝑐,…}(𝑥,𝑦,𝑧,…), которая позволяет выполнить прямой и обратный переходы от координатного представления к 𝐴𝐵𝐶…-представлению. Пусть нам известна также преобразующая функция, необходимая для перехода от координатного представления к импульсному. Какой вид имеет тогда функция, позволяющая определить переходы между импульсным представлением и 𝐴𝐵𝐶…-представлением?

§ 3. Операторы

Ожидаемые значения. Мы можем рассмотреть теперь некоторые другие свойства преобразующих функций. Попытаемся ответить на такой вопрос: система находится в состоянии, которое определяется волновой функцией 𝑓(𝑥), и мы измеряем величину 𝐴; какое среднее значение получится для величины 𝐴 при многократном повторении эксперимента? Мы будем обозначать это среднее значение, называемое иногда ожидаемым значением, символом ⟨𝐴⟩.

Предположим, что в принципе возможно одновременное измерение нескольких физических величин 𝐴, 𝐵, 𝐶, …, причём измерение величины 𝐴 даёт какое-то одно значение из непрерывного или дискретного ряда чисел 𝑎, измерение величины 𝐴 — некоторое значение 𝑎, …. Вероятность получить определённый набор 𝑎, 𝑏, 𝑐, … равна |𝐹_{𝑎,𝑏,𝑐,…}|², а вероятность получить для величины 𝐴 некоторое значение 𝑎 при любых 𝐵, 𝐶, … (например, вообще не измеряя последние) равна

𝑃(𝑎)

=

∑

^𝑎

∑

^𝑏

…

|𝐹

_{𝑎,𝑏,𝑐,…}

|²

.

(5.39)

Суммирование в этом равенстве производится по всем возможным значениям непрерывного или дискретного ряда величин 𝑏, 𝑐, … .

Среднее, или ожидаемое, значение результата измерения величины 𝐴 получается умножением вероятности (5.39) на величину 𝑎 и последующим суммированием произведений по всем возможным значениям этого 𝑎. Таким образом,

⟨𝐴⟩

=

∑

^𝑎

∑

^𝑏