∫
𝐾
exp
(ζ,𝑥)
𝐹(𝑥)
𝑑𝑥
=
δ(ζ-ζ')
.
(5.28)
Это уравнение можно решить, используя соотношение между комплексно-сопряжённым и обратным ядром, полученное в § 1 гл. 4. Из формулы (4.37) мы имеем
∫
𝐾
exp
(ζ',𝑥)
𝐾
*
exp
(ζ,𝑥)
𝑑𝑥
=
δ(ζ-ζ')
,
(5.29)
так что
𝐹(𝑥)
=
𝐾
*
exp
(ζ,𝑥)
=
𝑔(𝑥)
.
(5.30)
Это означает, что функция 𝑔(𝑥) — волновая функция частицы, которая заведомо обладает свойством 𝐺. Итак, мы можем сказать, что частица обладает свойством 𝐺, т.е. находится в состоянии 𝑔(𝑥). Таким образом мы установили: если частица находится в состоянии 𝑓(𝑥), то амплитуда вероятности найти её в состоянии 𝑔(𝑥) есть
ψ(𝑥)
=
∫
𝑔*(𝑥)
𝑓(𝑥)
𝑑𝑥
=
Φ[𝑔(𝑥)]
.
(5.31)
Для большего числа степеней свободы 𝑥 берётся в пространстве нескольких измерений.
Можно дать и не столь строгую формулировку вышесказанного: вероятность того, что частица находится в состоянии 𝑔(𝑥), равна |∫𝑔*(𝑥)𝑓(𝑥)𝑑𝑥|². Эта формулировка хороша, когда мы знаем, что имеем при этом в виду. На самом деле система находится в состоянии 𝑓(𝑥), а не в состоянии 𝑔(𝑥), но если при измерении мы хотим узнать, будет ли она также находиться в состоянии 𝑔(𝑥), то вероятность получить утвердительный ответ равна:
𝑃(𝑥)
=
⎪
⎪
⎪
∞
∫
-∞
𝑔*(𝑥)
𝑓(𝑥)
𝑑𝑥
⎪²
⎪
⎪
=
𝓟[𝑔(𝑥)]
.
(5.32)
Измерение, с помощью которого выясняется, находится ли система в состоянии 𝑔(𝑥) или нет, покажет, что система действительно находится в этом состоянии, если волновая функция системы равна 𝑔(𝑥). Для других волновых функций повторение эксперимента даст утвердительный ответ лишь в некоторой части случаев, составляющей от всех испытаний долю 𝑃. Это является центральным пунктом вероятностной интерпретации квантовой механики.
Из всего этого следует одно интересное соотношение между самой волновой функцией и функцией, комплексно ей сопряжённой. В соответствии с нашим пониманием соотношения (5.25) функция 𝑔*(𝑥) представляет собой амплитуду вероятности того, что если система занимает положение 𝑥, то она обладает свойством 𝐺 (это утверждение можно записать математически, если вместо функции 𝑓(𝑥) в формулу (5.31) подставить δ-функцию); с другой стороны, 𝑔(𝑥) — амплитуда вероятности того, что система, обладающая свойством 𝐺, находится в точке 𝑥. (Это как раз и является способом определения волновой функции.) Одна из этих функций даёт амплитуду вероятности в таком случае: если имеется 𝐴, то имеется и 𝐵; другая определяет её для обратного случая: если имеется 𝐵, то имеется 𝐴. Переход осуществляется здесь простым комплексным сопряжением.
Соотношение (5.31) может быть интерпретировано следующим образом: амплитуда вероятности того, что система обладает свойством 𝐺, представляет собой сумму по всем значениям 𝑥 произведений амплитуды 𝑔(𝑥), описывающей вероятность того, что система находится в положении 𝑥, и амплитуды 𝑓*(𝑥), определяющей вероятность того, что если система занимает положение 𝑥, то она обладает свойством 𝐺.
Задача 5.3. Пусть интеграл
∞
∫
-∞
𝑓*(𝑥)
𝑓(𝑥)
𝑑𝑥
,
который даёт полную вероятность найти в каком-либо месте частицу с волновой функцией 𝑓(𝑥), нормирован так, что его значение равно единице. Покажите, что при этом условии состояние 𝑓(𝑥), в котором частица с наибольшей вероятностью будет обладать свойством 𝐺, совпадает с 𝑔(𝑥).
Задача 5.4. Допустим, что ψ(𝑥1) — волновая функция системы в момент времени 𝑡1. Пусть при движении в интервале времени 𝑡2≥𝑡≥𝑡1 поведение системы описывается ядром 𝐾(𝑥2,𝑡2;𝑥1,𝑡1).
Покажите, что вероятность найти систему в состоянии χ(𝑥) в момент времени 𝑡2 даётся квадратом интеграла
∞
∫
-∞
∞
∫
-∞
χ*(𝑥
2
)
𝐾(𝑥
2
,𝑡
2
;𝑥
1
,𝑡
1
)
ψ(𝑥
1
)
𝑑𝑥
1
𝑑𝑥
2
.
Мы будем называть этот интеграл амплитудой перехода из состояния ψ(𝑥) в состояние χ(𝑥).
Измерение нескольких величин. В наших рассуждениях в гл. 4 мы предполагали идеальный эксперимент, когда одновременно с величиной 𝐴 нельзя измерить никакую другую величину. Иначе говоря, мы допускали, что существует не более одной функции 𝑔(𝑥), приводящей к данному результату, и утверждали тем самым, что при измерении величины 𝐴 мы получаем максимум информации о нашей системе.
Однако в действительности состояние системы в общем случае определяется несколькими переменными. Так, например, если в трёхмерном пространстве измеряется только 𝑥-компонента импульса, то мы не сможем однозначно определить функцию 𝑔(𝑥): волновые функции exp(𝑖𝑝𝑥𝑥/ℏ) и exp[(𝑖𝑝𝑥𝑥/ℏ) - (𝑖𝑝𝑦𝑦/ℏ)] — дадут одинаковое значение 𝑥-компоненты импульса 𝑝𝑥. Таким образом, если в трёхмерной системе координат измерять лишь значение компоненты 𝑝𝑥, то частицы в направлении оси 𝑦 могут двигаться с любым импульсом и это не скажется на результатах измерений. Не требуется даже, чтобы частица попадала в одну и ту же точку измерительного устройства. Все частицы, которые попадают на некоторую линию или совокупность точек, могут иметь одно и то же значение 𝑝𝑥.
Так что в общем случае волновая функция 𝑔(𝑥) определит свойство 𝐺 следующим образом: состояние, которое описывается волновой функцией 𝑔(𝑥), безусловно, обладает свойством 𝐺. Однако обратное утверждение не всегда верно. Поэтому совсем не обязательно, чтобы все состояния, обладающие свойством 𝐺, описывались одной и той же волновой функцией 𝑔(𝑥). Лишь в том случае, когда 𝐺 включает перечень всех величин, которые могут быть одновременно измерены, волновая функция полностью определяется самим свойством 𝐺. Но даже и тогда остаётся неопределённым постоянный фазовый множитель 𝑒𝑖δ (который не имеет, однако, существенного значения).
Легко получить необходимое обобщение характеристической функции 𝑔*(𝑥) для случая, когда наш мысленный эксперимент предполагает измерение более чем одной переменной. Пусть мы имеем некий набор величин (назовём их 𝐴, 𝐵, 𝐶, …), которые могут быть одновременно измерены в предполагаемом эксперименте; например, это будут 𝑥-компонента импульса, 𝑦-компонента и т.д. Предположим, что мы можем полностью описать состояние системы, определяя некоторые числа 𝑎, 𝑏, 𝑐, …, соответствующие этим величинам. Таким образом, мы полностью описываем систему, утверждая, что она обладает или не обладает определённым свойством. В данном случае утверждение, что система имеет определённое свойство, означает, что величина 𝐴 равна 𝑎, величина 𝐵 равна 𝑏 и т.д. Кроме того, предположим, что одновременно с этим мы не можем получить никакой другой информации, которую нельзя было бы вывести, зная численные значения величин 𝐴, 𝐵, 𝐶… .
