1
(5.19)
Здесь первый член справа учитывает переходные процессы, обусловленные мгновенным возникновением колебаний при 𝑡=0. Второй член описывает стационарное поведение и показывает, что по прошествии достаточного времени мы обнаружим, как обычно, значение энергии, равное 𝑝²/2𝑚 однако вблизи точки 𝑡=0 энергия не определяется этой классической формулой.
Задача 5.2. Пусть мы проделаем преобразование Фурье только для времени и не затронем пространственных переменных. В этом случае
𝑘(𝑥
2
,𝐸
2
;𝑥
1
,𝐸
1
)
=
∫∫
𝑒
(𝑖ℏ)𝐸2𝑡2
𝐾(𝑥
2
,𝑡
2
;𝑥
1
,𝑡
1
)
𝑒
-(𝑖/ℏ)𝐸1𝑡1
𝑑𝑡
2
𝑑𝑡
1
.
(5.20)
Покажите, что для системы с не зависящим от времени гамильтонианом 𝐻
𝑘(𝑥
2
,𝐸
2
;𝑥
1
,𝐸
1
)
=
2πℏ𝑖δ
(𝐸
2
-𝐸
1
)
∑
𝑚
φ𝑚(𝑥2)φ*𝑚(𝑥1)
𝐸1-𝐸𝑚+𝑖ε
,
(5.21)
где φ𝑚 — собственные функции, а 𝐸𝑚 — собственные значения оператора 𝐻.
§ 2. Измерение квантовомеханических величин
Характеристическая функция. В предыдущем параграфе мы показали, каким образом эксперимент, предназначенный для измерения импульса, приводит к определению распределения вероятности импульсов. По результатам правильно поставленного эксперимента можно ответить на вопрос: какова вероятность того, что импульс частицы равен 𝐩. Используя тот факт, что существует распределение вероятности различных значений импульса, мы нашли, каким образом волновая функция (или амплитуда вероятности) выражается в зависимости от импульсных переменных. Мы установили, что действительно можем и полностью описать систему и рассматривать задачи в импульсно-энергетическом представлении так же хорошо, как и в пространственно-временном представлении, которым до сих пор пользовались.
Эти результаты относятся не только к импульсным, но и к другим переменным. Если какая-либо физическая величина измерима экспериментально, то ей может быть сопоставлена некоторая функция вероятности. Это означает, что если существует возможность измерять какую-нибудь характеристику нашей системы 𝐴 (например, 𝑥-компонету импульса), то после многократного повторения эксперимента можно построить распределение вероятности 𝑃(𝑎); оно даст нам вероятность того, что в каком-нибудь конкретном эксперименте численное значение 𝐴 будет найдено равным 𝑎.
В общем случае такое распределение можно сопоставить амплитуде вероятности. Эта амплитуда будет выражена через измеряемые переменные, а также будет зависеть от других переменных, необходимых для её полного определения. Посмотрим, что повлечёт за собой обобщение рассмотренного нами примера измерения импульса. Сначала мы рассмотрим лишь одну степень свободы, переход к большему числу измерений не вызовет затруднений. Мы хотим знать, обладает ли наша система свойством 𝐺. Например, 𝐺 может означать утверждение: значение величины 𝐴 равно 𝑎. У нас должен быть какой-то экспериментальный способ, позволяющий нам ответить на этот вопрос.
Пусть некоторый прибор устроен таким образом, что если частица обладает свойством 𝐺, то она пройдёт через него и в определённом месте какого-то экрана или какой-то измерительной шкалы появится соответствующая отметка.
Вероятность такого события можно записать как
𝑃(𝐺)=
⎪
⎪
⎪
∫
𝐾
exp
(ζ,𝑥)
𝑓(𝑥)
𝑑𝑥
⎪²
⎪
⎪
,
(5.22)
если 𝑓(𝑥) — волновая функция измеряемой системы, 𝐾exp(ζ,𝑥) — ядро, описывающее прохождение частицы через данный экспериментальный прибор, а ζ — точка, в которую попадает частица, обладающая свойством 𝐺. Эту вероятность можно представить также и в ином виде:
𝑃(𝐺)=
⎪
⎪
⎪
∫
𝑔*(𝑥)
𝑓(𝑥)
𝑑𝑥
⎪²
⎪
⎪
,
(5.23)
где мы положили
𝑔*(𝑥)
=
𝐾
exp
(ζ,𝑥)
.
(5.24)
(Задание этой функции в комплексно-сопряжённом виде принято, как мы увидим далее, только ради удобства.) Таким образом, мы можем сказать, что функция
ψ(𝐺)=
∫
𝑔*(𝑥)
𝑓(𝑥)
𝑑𝑥
(5.25)
представляет собой амплитуду вероятности того, что система обладает свойством 𝐺. Это построение иллюстрируется фиг. 5.5.
Фиг. 5.5. Устройство, предназначенное для измерения свойства 𝐺, помещено между точкой входа налетающей частицы [волновая функция которой 𝑓(𝑥)] и точкой выхода 𝑥=ζ
Устройство преобразует ядро, описывающее движение (ср. фиг. 5.1 и 5.2) таким образом, что оно становится равным 𝑔(𝑥). Произведение 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥), проинтегрированное по переменной 𝑥, представляет собой амплитуду вероятности достичь точки ζ после прохождения через устройство.
Само свойство 𝐺 определяется функцией 𝑔*(𝑥) благодаря следующим обстоятельствам. Предположим, что для измерения данного свойства мы проводим какой-либо другой эксперимент, пользуясь другими приборами, и, следовательно, в этом случае мы должны ввести новое ядро 𝐾exp'(η,𝑥). Пусть в этом новом эксперименте частица попадает в точку η. Тогда вероятность обнаружить, что система обладает свойством 𝐺, равна
⎪
⎪
⎪
∫
𝐾
exp
(η,𝑥)
𝑓(𝑥)
𝑑𝑥
⎪²
⎪
⎪
или
⎪
⎪
⎪
∫
𝑔'*(𝑥)
𝑓(𝑥)
𝑑𝑥
⎪²
⎪
⎪
(5.26)
Так как мы изучаем одно и то же свойство, то должны получить, во всяком случае для 𝑃(𝐺), тот же самый результат, что и в предыдущем эксперименте. Таким образом, для произвольной функции 𝑓(𝑥) должно выполняться равенство
⎪
⎪
⎪
∫
𝑔'*(𝑥)
𝑓(𝑥)
𝑑𝑥
⎪²
⎪
⎪
=
⎪
⎪
⎪
∫
𝑔*(𝑥)
𝑓(𝑥)
𝑑𝑥
⎪²
⎪
⎪
.
(5.27)
Это означает, что 𝑔*(𝑥)=𝑔*(𝑥) с точностью до несущественного фазового множителя 𝑒𝑖δ. Следовательно, всем методам, предназначенным для определения одного и того же свойства, соответствует (с точностью до фазы) одна и та же функция 𝑔*(𝑥). Поэтому мы назовём функцию 𝑔*(𝑥) характеристической функцией свойства 𝐺.
Можно задать другой вопрос: каким должно быть состояние 𝑓(𝑥), чтобы быть уверенным, что система определённо обладает свойством 𝐺? (Например, какова волновая функция частицы, имеющей заданный импульс?) Другими словами, мы хотим найти такую функцию 𝑓(𝑥), скажем 𝐹(𝑥), при которой частица, проходящая через прибор, будет попадать именно в точку ζ, а не в какую-либо другую точку ζ'. Амплитуда вероятности попасть в точку ζ' должна быть пропорциональна δ(ζ-ζ') (т.е. равна нулю во всех точках, за исключением ζ=ζ'). Следовательно,
