𝑚
⎤½
⎥
⎦
.
(7.117)
Выясним теперь связь гамильтониана 𝐻 с изменением состояния при небольшой вариации времени. Рассмотрим для этого состояние ψ(𝑡), определённое в пространственно-временно'й области 𝑅. Представим себе, что в тот же самый момент времени 𝑡 мы рассматриваем другое состояние ψδ(𝑡), определённое в области 𝑅δ. Пусть область 𝑅δ пространственно совпадает с 𝑅, но относится к более раннему моменту времени, сдвинутому в прошлое на интервал δ. Все устройства, необходимые для локализации системы в области 𝑅δ, совершенно тождественны тем, которые локализуют систему в области 𝑅, но начинают действовать на интервал времени Δ𝑡=δ раньше. Если лагранжиан 𝐿 явно зависит от времени, то на нем также скажется этот сдвиг, т.е. состояние ψδ, соответствующее 𝐿δ, будет таким же, как и состояние ψ, с той лишь разницей, что при написании 𝐿δ мы пользуемся в качестве времени переменной 𝑡+δ.
Зададим теперь вопрос: чем состояние ψδ отличается от состояния ψ? При любых измерениях вероятность пребывания системы в любой конкретной области 𝑅' зависит от того, какая из двух областей (𝑅 или 𝑅δ) была принята за исходную. Определим изменение амплитуды перехода ⟨χ|1|ψδ⟩ вызываемое сдвигом во времени. Этот сдвиг можно рассматривать как смещение, которое происходит благодаря уменьшению всех значений 𝑡𝑖, у которых 𝑖≤𝑘, на величину δ; если же 𝑖>𝑘, то все 𝑡𝑖 сохраняются.
Читателю, который заглянет несколько вперёд, может показаться, что мы намеренно создаём для себя трудности. Ясно, что все наши усилия в конце концов должны свестись к тому, чтобы перейти к пределу, устремив к нулю все отрезки нашего разбиения оси времени. Однако здесь следует указать наконец, что, во всяком случае, один из интервалов 𝑡𝑘+1-𝑡𝑘 имеет нижнюю границу и не может быть бесконечно уменьшаем. Эту трудность удаётся обойти, если предположить, что временно'й сдвиг δ сам должен быть функцией времени. Можно представить себе, что эта величина монотонно возрастает до момента 𝑡=𝑡𝑘, а потом монотонно убывает. Тогда, полагая вариацию δ равномерной, можно монотонно устремить к нулю все интервалы времени, включая и 𝑡𝑘+1-𝑡𝑘. Затем рассмотрим эффект первого порядка, перейдя к пределу при δ→0. Результат, полученный этим более строгим способом, оказывается в сущности тем же, что и в предыдущем примере.
Возвращаясь теперь к нашему рассмотрению эффекта, вызванного сдвигом времени, мы видим, что определённая соотношением (7.115) функция действия 𝑆[𝑥𝑖+1,𝑡𝑖+1;𝑥𝑖,𝑡𝑖] сохраняется до тех пор, пока моменты 𝑡𝑖+1 и 𝑡𝑖 изменяются на одну и ту же величину. С другой стороны, функция 𝑆[𝑥𝑘+1,𝑡𝑘+1;𝑥𝑘,𝑡𝑘] переходит в 𝑆[𝑥𝑘+1,𝑡𝑘+1;𝑥𝑘,𝑡𝑘-δ]. Более того, константа нормировки в интеграле по 𝑑𝑥𝑖 также изменится и будет иметь вид
𝐴
𝑖
=
⎡
⎢
⎣
2πℏ𝑖(𝑡𝑘+1-𝑡𝑘+δ)
𝑚
⎤½
⎥
⎦
.
(7.118)
Для определения амплитуды вероятности перехода применим соотношение (7.2). Вспоминая, что интеграл по траекториям зависит как от функции действия 𝑆, так и от константы нормировки 𝐴 (обе эти величины изменяются при нашем сдвиге времени), можно изменение амплитуды перехода с точностью до первого порядка по δ записать в виде
⟨χ|1|ψ⟩
-
⟨χ|1|ψ
δ
⟩
=
╱
╲
χ
⎪
⎪
⎪
∂𝑆[𝑥𝑘+1,𝑡𝑘+1;𝑥𝑘,𝑡𝑘]
∂𝑡𝑖
+
+
ℏ
2𝑖(𝑡𝑘+1-𝑡𝑘)
⎪
⎪
⎪
ψ
╲
╱
𝑖δ
ℏ
.
(7.119)
Второй член в этом выражении соответствует изменению константы 𝐴. Функционал, отвечающий гамильтониану квантовой механики, определим как
𝐻
𝑖
=
∂𝑆[𝑥𝑘+1,𝑡𝑘+1;𝑥𝑘,𝑡𝑘]
∂𝑡𝑘
+
ℏ
2𝑖(𝑡𝑘+1-𝑡𝑘)
.
(7.120)
Первый член в правой части последнего выражения совпадает с определением классического гамильтониана. Второй член необходим для того, чтобы в квантовомеханичёском случае величина 𝐻𝑘 оставалась конечной при стремлении интервала 𝑡𝑘+1-𝑡𝑘 к нулю. Этот член получается вследствие изменения константы нормировки 𝐴, обусловленного сдвигом времени δ.
Применяя полученный результат к частному случаю одномерного движения [см. выражение (7.116)], можно записать
𝐻
𝑘
=
𝑚
2
⎧
⎪
⎩
𝑥𝑘+1-𝑥𝑘
𝑡𝑘+1-𝑡𝑘
⎫²
⎪
⎭
+
ℏ
2𝑖(𝑡𝑘+1-𝑡𝑘)
+
𝑉(𝑥
𝑘+1
)
=
=
𝑚
2
⎧
⎪
⎩
𝑥𝑘+1-𝑥𝑘
𝑡𝑘+1-𝑡𝑘
⎫
⎪
⎭
⎧
⎪
⎩
𝑥𝑘-𝑥𝑘-1
𝑡𝑘-𝑡𝑘-1
⎫
⎪
⎭
+
𝑉(𝑥
𝑘
)
.
(7.121)
Второе из этих соотношений получено с учётом равенства (7.54). Записав произведение скоростей в виде произведения их значений, относящихся к последовательным моментам, мы можем устранить член ℏ/[2𝑖(𝑡𝑘+1-𝑡𝑘)].
Полагая теперь, что 𝑡δ=𝑡-δ для всех 𝑡<𝑡𝑘, получаем соотношение
ψ(𝑡)
=
ψ(𝑡
δ
)
+δ
∂ψ
∂𝑡
=
ψ
δ
+δ
∂ψ
∂𝑡
,
(7.122)
связывающее между собой значения функции ψ, определённые в областях 𝑅 и 𝑅δ. Таким образом, последовательность соотношений между операторами, уравнением Шрёдингера и интегралами по траекториям может быть получена как комбинация выражений (7.119), (7.120) и (7.122):
δ
⟨χ|1|
∂ψ
∂𝑡
⟩
=
1
ℏ
δ⟨χ|
𝐻
𝑘
|ψ⟩
,
(7.123)
что снова приводит нас к уравнению Шрёдингера
ℏ
𝑖
∂ψ
∂𝑡
=
𝐻ψ
.
Для любых сколь угодно сложных функций действия можно найти выражение гамильтониана (т.е. функционал, соответствующий энергии), если рассмотреть изменения матричных элементов перехода ⟨χ|1|ψ⟩ с точностью до величин первого порядка по δ, когда все моменты, предшествующие моменту 𝑡, сдвинуты на величину Δ𝑡=-δ, и записать эти изменения как δ⟨χ|𝐻(𝑡)|ψ⟩.
