𝑥𝑘+1-𝑥𝑘
ε
⎫²
⎪
⎭
╲
╱
+
ℏ
2𝑖ε
⟨1⟩.
(7.54)
Таким образом, левую часть уравнения (7.54) можно рассматривать как матричный элемент кинетической энергии. Отсюда видно, что простейший способ написания матричных элементов перехода, содержащих различные степени скоростей, заключается в замене этих степеней произведениями скоростей, в которых каждый множитель немного отличается от другого небольшим сдвигом во времени.
В простых задачах матричные элементы перехода иногда можно вычислить непосредственно. Тот же самый результат в этих задачах можно получить, воспользовавшись соотношениями для матричных элементов перехода, которые мы нашли в § 2. Из этих соотношений получаются разрешимые дифференциальные уравнения для матричных элементов. Для иллюстрации рассмотрим теперь несколько примеров применения нашего общего метода, однако, как будет видно, все задачи, для которых этот метод окажется результативным, настолько просты, что и непосредственное вычисление матричных элементов фактически вряд ли будет сложнее.
В качестве первого примера рассмотрим случай свободной частицы, которая переходит из точки 𝑥1 в точку 𝑥2 за время 𝑇. Найдём матричный элемент перехода для пространственной координаты в момент времени 𝑡, т.е. для 𝑥(𝑡). Конечно, он будет некоторой функцией от 𝑡, поэтому ясно, что
⟨𝑥(0)⟩
=
𝑥
1
⟨1⟩
,
⟨𝑥(𝑇)⟩
=
𝑥
2
⟨1⟩
.
(7.55)
Так как в рассматриваемом случае все потенциалы, действующие на частицу, постоянны в пространстве (поскольку отсутствуют силы), то вторая производная от матричного элемента перехода для пространственной координаты равна нулю в соответствии с уравнением (7.42) и, следовательно, результатом интегрирования будет
⟨𝑥(𝑡)⟩
=
⎡
⎢
⎣
𝑥
1
+
𝑡
𝑇
(𝑥
2
-𝑥
1
)
⎤
⎥
⎦
⟨1⟩.
(7.56)
Заметим, что выражение в скобках есть как раз величина 𝑥(𝑡), взятая вдоль классической траектории 𝑥(𝑡).
Задача 7.7. Покажите, что для любой квадратичной функции действия
⟨𝑥(𝑡)⟩
=
𝑥
(𝑡)
⟨1⟩.
(7.57)
В качестве несколько менее тривиального примера попытаемся вычислить матричный элемент перехода ⟨𝑥(𝑡)𝑥(𝑠)⟩ для того же случая свободной частицы, что и выше. Поскольку этот матричный элемент есть уже функция двух моментов времени, можно записать его как 𝑓(𝑡,𝑠). Вторая производная по времени в этом случае равна
∂²𝑓(𝑡,𝑠)
∂𝑡²
=
⟨𝑥̈(𝑡)𝑥(𝑠)⟩
.
(7.58)
Этот матричный элемент можно вычислить с помощью подстановки 𝐹=𝑥(𝑠) в уравнение (7.40). В случае 𝑠≠𝑡, используя те же соображения, которые приводят к уравнению (7.42), получаем -(1/𝑚)⟨𝑉'[𝑥(𝑡)]𝑥(𝑠)⟩, тогда как при 𝑠=𝑡, повторив соображения, приводившие нас к соотношению (7.44), найдём, что матричный элемент перехода (7.58) является величиной порядка 1/ε. Переходя к пределу при ε→0, имеем
𝑚
∂²𝑓
∂𝑡²
=
⟨𝑚𝑥̈(𝑡)𝑥(𝑠)⟩
=
ℏ
𝑖
δ(𝑡-𝑠)
-
⟨𝑉'[𝑥(𝑡)]𝑥(𝑠)⟩
.
(7.59)
Поскольку в рассматриваемом случае свободной частицы потенциал не зависит от пространственных координат, то второй член в правой части выражения (7.59) равен нулю. Получившееся при этом уравнение можно решить, разбив область интересующих нас значений 𝑡 на две части. В области, где 𝑡<𝑠,
𝑓
=
𝑎(𝑠)𝑡
+
𝑏(𝑠)
,
(7.60)
а при 𝑡>𝑠
𝑓
=
𝐴(𝑠)𝑡
+
𝐵(𝑠)
.
(7.61)
Таким образом, в точке 𝑡=𝑠 первая производная функции 𝑓 по времени претерпевает скачок, равный 𝐴(𝑠)-𝑎(𝑠); в соответсвии с уравнением (7.59) 𝐴(𝑠)-𝑎(𝑠)=ℏ/𝑚𝑖. Кроме того, следствием граничных условий являются равенства
⟨𝑥(0)𝑥(𝑠)⟩
=
𝑥
1
⟨𝑥(𝑠)⟩
=
𝑥
1
𝑥
(𝑠)⟨1⟩
,
⟨𝑥(𝑇)𝑥(𝑠)⟩
=
𝑥
2
𝑥
(𝑠)⟨1⟩
.
(7.62)
Этого ещё недостаточно для определения всех четырёх функций 𝑎, 𝐴, 𝑏 и 𝐵, однако мы можем дополнительно использовать соотношение
∂²𝑓
∂𝑠²
=
⎧
⎪
⎩
ℏ
𝑚𝑖
⎫
⎪
⎭
δ(𝑡-𝑠)
,
(7.63)
полученное дифференцированием функции 𝑓 по переменной 𝑠, или учесть, что функция 𝑓(𝑡,𝑠) должна быть симметричной относительно переменных 𝑡 и 𝑠. Отсюда следует, что 𝑎, 𝐴, 𝑏 и 𝐵 должны быть линейными функциями переменной 𝑠. Теперь граничных условий уже достаточно для определения решения, и мы получаем
⟨𝑥(𝑡)𝑥(𝑠)⟩
=
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
⎡
⎢
⎣
𝑥
(𝑡)
𝑥
(𝑠)
+
ℏ
𝑚𝑖𝑇
𝑠(𝑇-𝑡)
⎤
⎥
⎦
⟨1⟩ при 𝑠<𝑡,
⎡
⎢
⎣
𝑥
(𝑡)
𝑥
(𝑠)
+
ℏ
𝑚𝑖𝑇
𝑡(𝑇-𝑠)
⎤
⎥
⎦
⟨1⟩ при 𝑠>𝑡.
(7.64)
Легко видеть, что этот результат является правильным. Произведение двух классических траекторий 𝑥(𝑡) и 𝑥(𝑠), взятых в разные моменты времени, представляет собой решение, удовлетворяющее необходимым граничным условиям однородных уравнений, которые получаются, если приравнять нулю правые части (7.59) и (7.63). Последние члены в правой части соотношений (7.64) являются частными решениями неоднородных уравнений (7.59) и (7.63), обращающимися в нуль на концах интервала.
Матричный элемент перехода от произведения двух пространственных координат, взятых для двух различных моментов, является не просто выражением для произведения двух соответствующих положений на классической траектории. Он содержит малый добавочный член, который имеет чисто квантовую природу. Этот дополнительный член вполне совместим с нашей картиной квантовомеханического движения. Хотя частица, движущаяся между фиксированными точками на концах интервала, в среднем будет находиться на классической траектории, тем не менее она имеет определённую амплитуду вероятности для движений по каждой из возможных траекторий. Этот факт необходимо помнить, когда рассматривается матричный элемент перехода от произведения пространственных координат, взятых для двух различных моментов. В этом матричном элементе должны быть учтены все возможные положения частицы на альтернативных траекториях; это обстоятельство и даёт нам дополнительный член. Альтернативы совпадут лишь в фиксированных точках интервала.
Можно лучше понять смысл этого утверждения, если снова применить нашу классическую аналогию. Предположим, что траектория частицы проходит через некоторую точку с координатой 𝑥, абсолютное значение которой велико в момент времени 𝑠. Тогда «среднее» значение переменной 𝑥 для более позднего момента времени 𝑡 не является уже обычным средним значением траектории 𝑥(𝑡); в этом случае налицо корреляция с предыдущим большим отклонением. Поэтому «среднее» значение произведения не является просто произведением «средних».
