Из выражения (7.45) можно сделать дальнейшие выводы, которые дадут нам лучшее представление о свойствах траектории, играющих важную роль в квантовой механике. Рассмотрим порознь
╱
╲
𝑥
𝑘
𝑚
𝑥𝑘-𝑥𝑘-1
ε
╲
╱
(7.46)
и
╱
╲
𝑥
𝑘+1
𝑚
𝑥𝑘+1-𝑥𝑘
ε
╲
╱
.
(7.47)
Эти члены отличаются один от другого на величину порядка ε, поскольку они представляют собой одну и ту же величину, вычисленную в два различных момента, отличающихся на ε. Поэтому можно подставить выражение (7.47) вместо второго члена соотношения (7.45). В результате получим
╱
╲
𝑚
𝑥𝑘+1-𝑥𝑘
ε
(𝑥
𝑘
-𝑥
𝑘+1
)
╲
╱
=
𝑖
ℏ
⟨1⟩
.
(7.48)
Можем записать это и по-другому:
╱
╲
⎧
⎪
⎩
𝑥𝑘+1-𝑥𝑘
ε
⎫²
⎪
⎭
╲
╱
=
𝑖
ℏ𝑚ε
⟨1⟩
.
(7.49)
Отсюда следует, что матричный элемент квадрата скорости имеет порядок 1/ε и неограниченно растёт, когда ε стремится к нулю. Поэтому можно заключить, что основные траектории квантовомеханической частицы не имеют вида гладкой кривой с определённым наклоном (т.е. с определённой скоростью), а изображаются линией с очень мелкими хаотическими изломами, как показано на фиг. 7.1. На самом деле эта хаотичность такова, что если для определения «среднего» воспользоваться классическими понятиями, то «среднеквадратичной» скорости просто не будет существовать.
Фиг. 7.1. Типичные траектории квантовомеханической частицы.
Они имеют нерегулярные изломы, если рассматривать их с достаточным увеличением. Таким образом, хотя средняя скорость может быть вычислена, но среднего квадрата скорости не существует. Другими словами, траектории не дифференцируемы.
Если для малого промежутка времени Δ𝑡 среднюю скорость определить, например, как [𝑥(𝑡+Δ𝑡)-𝑥(𝑡)]/Δ𝑡, то «среднеквадратичная скорость» для малого интервала времени конечна, но величина её будет тем больше, чем меньше взятый интервал.
Итак, мы знаем, что квантовомеханические траектории весьма хаотичны. Однако, будучи усреднёнными по разумному отрезку времени, эти хаотичности приводят к разумной величине дрейфа, т.е. к «средней скорости», несмотря на то что для коротких временных интервалов такая «средняя» величина скорости очень велика.
Задача 7.6. Покажите, что для частицы, движущейся в трёхмерном пространстве (𝑥,𝑦𝑧), справедливы соотношения
⟨(𝑥
𝑘+1
-𝑥
𝑘
)²⟩
=
⟨(𝑦
𝑘+1
-𝑦
𝑘
)²⟩
=
⟨(𝑧
𝑘+1
-𝑧
𝑘
)²⟩
=-
𝑖ε
ℏ𝑚
,
(7.50)
⟨(
𝑥
𝑘+1
-𝑥
𝑘
)(
𝑦
𝑘+1
-𝑦
𝑘
)⟩=⟨(
𝑥
𝑘+1
-𝑥
𝑘
)(
𝑧
𝑘+1
-𝑧
𝑘
)⟩=
=⟨(
𝑦
𝑘+1
-𝑦
𝑘
)(
𝑧
𝑘+1
-𝑧
𝑘
)⟩=0.
(7.51)
Отсюда видно, что матричный элемент кинетической энергии нельзя написать просто как
1
2
╱
╲
𝑚
⎧
⎪
⎩
𝑥𝑘+1-𝑥𝑘
ε
⎫²
⎪
⎭
╲
╱
(7.52)
поскольку эта величина неограниченно растёт при стремлении ε к нулю. Как же получить правильное выражение для кинетической энергии? Сделаем эвристическое предположение, что нам будет достаточно ограничиться рассмотрением тех функционалов 𝐹, которые исследуются методами теории возмущений. Тогда возникает вопрос: как ввести понятие возмущения в кинетическую энергию? Пусть за малый интервал времени Δ𝑡 масса частицы 𝑚 изменяется на величину η𝑚 (где η тоже очень мало); тогда изменение действия, пропорциональное кинетической энергии, будет равно величине ηΔ𝑡(𝑚/2)𝑥̇². Итак, мы пришли к вопросу: какой вид (в первом приближении по возмущениям) имеет выражение для ⟨σ⟩𝑆0, если на короткое время масса частицы 𝑚 принимает величину 𝑚(1+η)?
Для простоты интервал Δ𝑡 можно положить равным ε, как это было уже сделано нами в определении пространственных переменных 𝑥𝑘, и т.д.; тогда в разложении по возмущениям член первого порядка, поделённый на εη, будет равен кинетической энергии частицы. Ясно, что изменение действия 𝑆 будет равно εη(𝑚/2)(𝑥𝑘+1-𝑥𝑘)²/ε² [если в выражении (7.38) в члене с индексом 𝑖=𝑘 массу 𝑚 заменить на 𝑚(1+η)]. Однако это не единственное изменение в интеграле по траекториям, вызываемое вариацией массы. Дело в том, что, кроме величины самого интеграла, изменяется также (на величину η/2) коэффициент нормировки 𝐴, пропорциональный 𝑚½. Следовательно, полное изменение интеграла по траекториям, обусловленное малой вариацией 𝑚, после деления на ηε запишется (с точностью до первого порядка) в виде
𝑖
ℏ
╱
╲
𝑚
2
(𝑥𝑘+1-𝑥𝑘)²
ε²
+
ℏ
2𝑖ε
╲
╱
,
(7.53)
а это не что иное, как кинетическая энергия, умноженная на величину 𝑖/ℏ.
Из равенства (7.49) можно было бы заключить, что это выражение равно нулю. Однако само равенство (7.49) выполняется лишь в пределе при ε→0 с точностью до членов порядка 1/ε, в то время как (7.53) при таком же предельном переходе остаётся конечным. Это выражение можно переписать иначе, если разложить квадратичный член. В уравнении (7.40) положим 𝐹 равным 𝑥𝑘+1-𝑥𝑘 Сохраняя члены низшего порядка по ε, получаем
╱
╲
𝑚
2
⎧
⎪
⎩
𝑥𝑘+1-𝑥𝑘
ε
⎫
⎪
⎭
⎧
⎪
⎩
𝑥𝑘-𝑥𝑘-1
ε
⎫
⎪
⎭
╲
╱
=
╱
╲
𝑚
2
⎧
⎪
⎩
