⎧
⎨
⎩
𝑚𝑥̇²
2
-𝑉[𝑥(𝑡)]
⎫
⎬
⎭
𝑑𝑡
.
(7.35)
Если каждая траектория сдвигается на малую величину δ𝑥(𝑡), то в первом приближении
δ𝑆
-=
𝑡2
∫
𝑡1
[𝑚𝑥̈+𝑉'[𝑥(𝑡)]
δ𝑥(𝑡)
𝑑𝑡
.
(7.36)
Из соотношения (7.34) в этом случае следует
⟨δ𝐹⟩
𝑆
=-
𝑖
ℏ
╱
╲
𝐹
𝑡2
∫
𝑡1
[𝑚𝑥̈+𝑉'[𝑥]
δ𝑥(𝑡)
𝑑𝑡
╲
╱
.
(7.37)
Это выражение можно получить и иначе, если встать на точку зрения, применявшуюся нами при выводе формулы (7.33); другими словами, если провести разбиение временного интервала на малые отрезки длиной ε. Действие 𝑆 в этом случае запишется как
𝑆
=
𝑁-1
∑
𝑖=1
⎡
⎢
⎣
𝑚
(𝑥𝑖+1-𝑥𝑖)²
2ε
-
𝑉(𝑥
𝑖
)ε
⎤
⎥
⎦
.
(7.38)
Если выбрать некоторый момент времени 𝑡𝑘 и, как прежде, обозначить через 𝑥𝑘 соответствующую точку траектории, то
∂𝑆
∂𝑥𝑘
=
𝑚
⎧
⎪
⎩
𝑥𝑘+1-𝑥𝑘
ε
-
𝑥𝑘-𝑥𝑘-1
ε
⎫
⎪
⎭
+
𝑉'(𝑥
𝑘
)ε
.
(7.39)
Учитывая теперь (7.33), получаем
╱
╲
∂𝐹
∂𝑥𝑘
╲
╱𝑆
=-
𝑖ε
ℏ
╱
╲
𝐹
⎡
⎢
⎣
𝑚
⎧
⎪
⎩
𝑥𝑘+1-2𝑥𝑘+𝑥𝑘-1
ε²
⎫
⎪
⎭
+
𝑉'(𝑥
𝑘
)
⎤
⎥
⎦
╲
╱
.
(7.40)
В этом последнем соотношении член, содержащий ε² в знаменателе, фактически является ускорением 𝑥̈ в момент времени 𝑡𝑘. Поэтому соотношение (7.40) оказывается просто частным случаем выражения (7.37). Оно точно совпадает с последним, если вариация δ𝑥(𝑘) равна нулю для всех моментов 𝑡, отличных от 𝑡𝑘. Если же в (7.37) положить δ𝑥(𝑘) равной εδ𝑥𝑘δ(𝑡-𝑡𝑘), то получим соотношение (7.40); поскольку оно справедливо для любых 𝑘, то фактически эквивалентно соотношению (7.37), являясь его более подробной записью.
Пусть теперь в соотношении (7.37) мы положили 𝐹≈1. Тогда δ𝐹=0 и
-
𝑖
ℏ
╱
╲
∫
[𝑚𝑥̈
+𝑉'(𝑥)]
δ𝑥(𝑡)
𝑑𝑡
╲
╱
=0.
(7.41)
Так как этот результат должен быть верен для любого выбора функций δ𝑥(𝑡), то в любой момент времени будет выполняться равенство
⟨
𝑚𝑥̈
⟩
=-
⟨
𝑉'(𝑥)
⟩.
(7.42)
Это выражение является квантовомеханическим аналогом закона Ньютона. Если для матричного элемента перехода воспользоваться классической аналогией, рассмотренной в § 1, то можно сказать, что в каждый момент времени произведение «средней взвешенной» массы на ускорение, «усреднённое» по всем траекториям с весом 𝑒𝑖𝑆/ℏ, равно «среднему» значению силы (т.е. градиенту потенциала, взятому с обратным знаком) в тот же самый момент времени.
В качестве другого примера рассмотрим случай, когда 𝐹 является произвольным (но не равным тождественно нулю) функционалом от всех пространственных переменных, исключая 𝑥𝑘. Тогда левая часть соотношения (7.40) обращается в нуль (поскольку 𝑎𝐹/𝑎𝑡𝑘=0) и мы имеем
╱
╲
𝐹(
𝑡
1
,𝑡
2
,
…,
𝑡
𝑘-1
,𝑡
𝑘+2
,
…,
𝑡
𝑁
)
×
×
⎡
⎢
⎣
𝑚
𝑥𝑘+1-2𝑥𝑘+𝑥𝑘-1
ε²
+
𝑉'(𝑥
𝑘
)
⎤
⎥
⎦
╲
╱
=0.
(7.43)
Из этого соотношения видно, что усреднённый по всем тракториям матричный элемент выражения 𝑚𝑥̈+𝑉'(𝑥) обращается в нуль в момент 𝑡𝑘 даже в том случае, если усреднение проводится с произвольным весом, лишь бы весовой функционал не зависел от точки траектории, относящейся к моменту 𝑡𝑘.
Допустим теперь, что функционал зависит от этой точки; для простоты выберем его, например, равным 𝑥𝑘. Применив соотношение (7.40), получаем
⟨1⟩
=
𝑖ε
ℏ
╱
╲
𝑚
𝑥
𝑘
𝑥𝑘+1-2𝑥𝑘+𝑥𝑘-1
ε²
𝑥
𝑘
𝑉'(𝑥
𝑘
)
╲
╱
=
=
𝑖
ℏ
╱
╲
𝑚
𝑥
𝑘
𝑥𝑘+1-𝑥𝑘
ε
-
𝑥𝑘-𝑥𝑘-1
ε
ε𝑥
𝑘
𝑉'(𝑥
𝑘
)
╲
╱
.
Если предположить, что потенциал 𝑉—гладкая функция, то в пределе при ε→0 величина ε𝑥𝑘𝑉'(𝑥𝑘) станет пренебрежимо малой по сравнению с другими членами и выражение (7.44) принимает вид
╱
╲
𝑚
𝑥𝑘+1-𝑥𝑘
ε
𝑥
𝑘
╲
╱
-
╱
╲
𝑚
𝑥
𝑘
𝑥𝑘-𝑥𝑘-1
ε
╲
╱
=
𝑖
ℏ
⟨1⟩
.
(7.45)
Последнее соотношение содержит произведение пространственной переменной 𝑥 и импульса 𝑚𝑥̇. В первом члене импульс линейно усреднён для момента 𝑡𝑘+ε/2, а пространственная переменная относится к моменту 𝑡𝑘. Во втором члене её значение снова относится к моменту 𝑡𝑘 в то время как значение импульса соответствует моменту 𝑡𝑘-ε/2. Таким образом, из этого уравнения видно, что матричный элемент перехода произведения пространственной координаты и импульса зависит от порядка моментов времени, в которые определялись эти две величины.
Позднее, когда мы перейдём к более привычным операторным обозначениям, будет видно, что оба операторных уравнения, соответствующие уравнению (7.42), и правило коммутации операторов (7.45) получаются из одного и того же фундаментального соотношения (7.34).
