(7.24)
где δ𝑥(𝑠) вариация траектории 𝑥(𝑠).
Задача 7.1. Для действия, заданного в виде
𝑆=
𝑡2
∫
𝑡1
𝐿(𝑥̇,𝑥,𝑡)
𝑑𝑡
,
покажите, что в любой точке 𝑠 между 𝑡1 и 𝑡2 выполняется равенство
δ𝑆
δ𝑥(𝑠)
=-
𝑑
𝑑𝑠
⎧
⎪
⎩
∂𝐿
∂𝑥̇
⎫
⎪
⎭
+
∂𝐿
∂𝑥
,
(7.25)
где все частные производные взяты при 𝑡=𝑠.
Задача 7.2. Покажите, что при 𝐹[𝑥]=𝑥(τ).
δ𝐹
δ𝑥(𝑠)
=
δ(τ-𝑠).
(7.26)
Задача 7.3. Покажите, что если
𝐹=exp
⎡
⎢
⎣
1
2
∫
…
∫
𝑗(𝐫
1
,𝑡
1
)
𝑗(𝐫
2
,𝑡
2
)
×
×
𝑅
(𝐫
1
-𝐫
2
,𝑡
1
-𝑡
2
)
𝑑³𝐫
1
𝑑³𝐫
2
𝑑³𝑡
1
𝑑³𝑡
2
⎤
⎥
⎦
,
то производная δ𝐹/δ𝑗(𝑑,𝑠) будет иметь вид
δ𝐹
δ𝑗(𝑑,𝑠)
=
⎡
⎢
⎣
-
∫
𝑅
(𝐫-𝐫',𝑡-𝑡')
𝑗(𝐫',𝑡')
𝑑𝐫'
𝑑𝑡'
⎤
⎥
⎦
𝐹.
(7.27)
Заметим, что 𝑗(𝐫,𝑡) является функцией четырёх переменных (𝑥,𝑦,𝑧,𝑡). Поэтому для описания точки, в которой берётся функциональная производная, координату 𝑠 в интегралах [вида, например, соотношения (7.14)] надо заменить набором всех четырёх этих аргументов.
Общее соотношение между функционалами, о котором мы упоминали в начале этого параграфа, можно получить, разлагая в ряд матричный элемент перехода функциональной производной δ𝐹/δ𝑥(𝑠). Сделать это легче всего следующим образом. Рассмотрим матричный элемент
⟨𝐹⟩
𝑆
=
∫
𝐹[𝑥(𝑡)]
𝑒
(𝑖/ℏ)𝑆[𝑥(𝑡)]
𝒟𝑥(𝑡)
(7.28)
и в интеграле по траекториям функцию 𝑥(𝑡) заменим на 𝑥(𝑡)+η(𝑡). Для каждого фиксированного значения η(𝑡) выполнено равенство 𝒟[𝑥(𝑡)+η(𝑡)]=𝒟𝑥(𝑡) [поскольку 𝑑(𝑥𝑖+η𝑖) = 𝑑(𝑥𝑖)]. Отметим, что сам интеграл не должен измениться от такой замены. Разлагая теперь экспоненту в ряд и ограничиваясь членами нулевого и первого порядков
⟨𝐹⟩
𝑆
=
∫
𝐹[𝑥(𝑡)+η(𝑡)]
𝑒
(𝑖/ℏ)𝑆[𝑥(𝑡)+η(𝑡)]
𝒟𝑥(𝑡)
=
=
∫
𝐹[𝑥(𝑡)]
𝑒
(𝑖/ℏ)𝑆[𝑥(𝑡)]
𝒟𝑥(𝑡)
+
∫
⎡
⎢
⎣
∫
δ𝐹
δ𝑥(𝑠)
η(𝑠)
𝑑(𝑠)
⎤
⎥
⎦
𝑒
(𝑖/ℏ)𝑆[𝑥(𝑡)]
𝒟𝑥(𝑡)
+
+
𝑖
ℏ
∫
𝐹[𝑥(𝑡)]
⎡
⎢
⎣
∫
δ𝑠
δ𝑥(𝑠)
η(𝑠)
𝑑(𝑠)
⎤
⎥
⎦
𝑒
(𝑖/ℏ)𝑆[𝑥(𝑡)]
𝒟𝑥(𝑡)
+… ,
(7.29)
получаем, что член нулевого порядка в точности равен ⟨𝐹⟩𝑆. Поэтому сумма членов первого порядка при любой функции η(𝑆) должна обращаться в нуль. Отсюда следует соотношение
╱
╲
δ𝐹
δ𝑥(𝑠)
╲
╱𝑆
=-
𝑖
ℏ
╱
╲
𝐹
δ𝑠
δ𝑥(𝑠)
╲
╱𝑆
.
(7.30)
Из этого общего соотношения вытекает много важных следствий. Так, его можно было бы использовать в качестве отправной точки для вывода законов квантовой механики; можно было бы вернуться несколько назад и ещё раз получить выражение (7.6). Если речь идёт о каком-то обобщении квантовой механики, то можно предполагать, что это обобщение содержится в функции 𝑆, в экспоненте 𝑒𝑖𝑆/ℏ, или же исходить из выражения, подобного соотношению (7.30), и вводить обобщение в дифференциальной форме. Швингер исследовал различные формулировки квантовой механики, вытекающие из соотношения (7.30).
Можно получить ещё одну форму этого соотношения, если проделать разбиение временного интервала на ε-отрезки, а функционалы заменить функциями переменных 𝑥(𝑖), соответствующих моментам 𝑡(𝑖). Рассматривая далее интеграл по траекториям
∫
∂𝐹
∂𝑥𝑘
𝑒
(𝑖/ℏ)𝑆[𝑥(𝑡)]
𝒟𝑥(𝑡)
,
(7.31)
где 𝑡𝑘 — некоторый промежуточный момент, не являющийся концом временного интервала, мы видим, что этот интеграл является обычным кратным интегралом по аргументам 𝑥𝑖. После одной интеграции по частям получим, отбросив проинтегрированную часть:
∫
∂𝐹
∂𝑥𝑘
𝑒
(𝑖/ℏ)𝑆[𝑥(𝑡)]
𝒟𝑥(𝑡)
=
𝑖
ℏ
∫
∂𝑆
∂𝑥𝑘
𝑒
(𝑖/ℏ)𝑆[𝑥(𝑡)]
𝒟𝑥(𝑡)
.
(7.32)
Задача 7.4. Выясните, почему обращается в нуль проинтегрированная часть.
Окончательно имеем
╱
╲
∂𝐹
∂𝑥𝑘
╲
╱𝑆
=-
𝑖
ℏ
╱
╲
𝐹
∂𝑆
∂𝑥𝑘
╲
╱𝑆
.
(7.33)
Это выражение имеет тот же смысл, что и соотношение (7.30). Более удобно записать его в дифференциальной форме
⟨δ𝐹⟩
𝑆
=-
𝑖
ℏ
⟨𝐹δ𝑆⟩
𝑆
(7.34)
так как в этом случае можно не указывать переменных, от которых зависят функции 𝐹 и 𝑆.
Задача 7.5. Покажите, что соотношение (7.34), вообще говоря, может ввести в заблуждение, поскольку в (7.33) используются только прямоугольные координаты. Для этого исследуйте соответствующее соотношение в случае, когда используются, например, сферические координаты и отыскивается производная ⟨𝑑𝐹/𝑑𝑟𝑘⟩𝑆.
§ 3. Матричные элементы перехода для некоторых специальных функционалов
Соотношение (7.34) имеет много интересных приложений. В этом параграфе мы проанализируем некоторые из них. При этом ограничимся частным случаем одномерного движения частицы под действием потенциала 𝑉[𝑥(𝑡)].
Предположим, что вдоль траектории частицы действие задаётся выражением
𝑆=
𝑡2
∫
𝑡1
