Как уже отмечалось, практическое вычисление интегралов по траекториям, содержащих такую сложную функцию действия, очень затруднительно, однако если можно ожидать, что эффект, вызываемый сложным членом а, невелик, то искомый результат легко получить, разложив экспоненту (7.4) в ряд по возмущениям. Для иллюстрации найдём член первого порядка в таком разложении (т.е. первую борновскую поправку). Используя для δ выражение (7.17), можно вычислить член (𝑖/ℏ)⟨χ|δ|ψ⟩𝑆0, записав его в виде
𝑖
ℏ
⟨χ|σ|ψ⟩
𝑆0
=
1
𝑚ω sin 𝑚𝑇
𝑡2
∫
𝑡1
𝑡
∫
𝑡1
⟨|
𝑔[𝑥(𝑡),𝑡]
𝑔[𝑥(𝑠),𝑠]
|ψ⟩
𝑆0
×
×
sin ω(𝑡
2
-𝑡)
sin ω(𝑠-𝑡
1
)
𝑑𝑠
𝑑𝑡
,
(7.18)
так что наиболее трудная часть задачи сводится к отысканию выражения ⟨χ|𝑔[𝑥(𝑡),𝑡]𝑔[𝑥(𝑠),𝑠]|ψ⟩𝑆0.
Но это выражение мы уже встречали в соотношении (7.15), с той лишь разницей, что вместо 𝑔 там стояло 𝑉. Поэтому мы можем написать
⟨χ|𝑔[𝑥(𝑡),𝑡]𝑔[𝑥(𝑠),𝑠]|ψ⟩
𝑆0
=
=
∫∫
χ*(4)
𝑔[𝑥(𝑡
4
),𝑡
4
]
𝐾
0
(4,3)
𝑔[𝑥(𝑡
3
),𝑡
3
]
ψ(3)
𝑑𝑥
3
𝑑𝑥
4
,
(7.19)
Подставив результат в соотношение (7.18), получим окончательное выражение для первой борновской поправки (𝑖/ℏ)⟨χ|σ|ψ⟩𝑆0.
Заметим, что с матричными элементами перехода мы будем часто встречаться в дальнейшем и в каждом случае их можно будет вычислить так, как только что было показано. Поэтому лишь малая часть излагаемого ниже окажется существенной для дальнейшего рассмотрения. Тем не менее существуют веские соображения, исходя из которых мы и включили этот материал в нашу книгу. Во-первых, возникает возможность получить весьма общие соотношения между матричными элементами перехода, которые можно было бы рассматривать в качестве отправной точки для нового построения квантовой механики. Во-вторых, для тех, кто хорошо знаком с более привычным операторным изложением квантовой мехнаники, мы предлагаем нечто вроде пособия для перевода с одного языка на другой, что поможет перейти от обычного представления к представлению, используемому в данной книге, т.е. к выражениям, подобным (7.3).
Пользуясь этими правилами перевода, содержание последующих глав, изложенное на языке интегралов по траекториям, можно понять и перевести на язык более привычных символов.
Соотношения, рассматриваемые ниже в данной главе, не зависят от вида волновых функций, описывающих начальное или конечное состояние системы; вид этих функций важен лишь при определении интеграла для матричного элемента перехода. Поэтому применим сокращённые обозначения, опустив всё, что характеризует волновые функции; матричный элемент перехода будет теперь обозначаться как ⟨𝐹⟩𝑆 вместо старого обозначения ⟨χ|𝐹|ψ⟩𝑆.
§ 2. Функциональные производные
Обратимся теперь к рассмотрению математического аппарата, который позволит нам в дальнейшем установить интересное соотношение между матричными элементами перехода. Это соотношение приобретает наиболее изящный вид, если воспользоваться понятием функциональной производной. Поскольку с этим математическим понятием знакомы далеко не все, мы целиком посвятим этот параграф его обсуждению.
Численное значение функционала 𝐹[𝑥(𝑡)] определено для каждой заданной функции 𝑥(𝑡). Зададимся вопросом: как изменится это значение, если немного изменить аргументную функцию 𝑥(𝑡)? Другими словами, как велика будет разность 𝐹[𝑥(𝑡)+η(𝑡)]-𝐹[𝑥(𝑡)], если η(𝑡) мало? В первом приближении по η (предполагая, что таковое существует и т.д.) эта разность представляет собой некоторое линейное относительно η выражение типа ∫𝐾(𝑠)η(𝑠)𝑑𝑠. Определённая таким образом величина 𝐾(𝑠) называется функциональной производной функционала 𝐹 по функции 𝑥(𝑡) в точке 𝑠 и обозначается как δ𝐹/δ𝑥(𝑡). Поэтому с точностью до членов первого порядка можно записать соотношение
𝐹[𝑥+η]
𝐹[𝑥]
+
∫
δ𝐹
δ𝑥(𝑥)
η(𝑠)
𝑑𝑠
+… .
(7.20)
Понятно, что производная δ𝐹/δ𝑥(𝑡) зависит как от вида функции 𝑥(𝑡), так и от значения переменной 𝑠, т.е. она является функционалом от 𝑥(𝑡) и функцией времени 𝑠.
Можно посмотреть на все это и с другой точки зрения. Предположим, что время разделено моментами 𝑡𝑖 на очень много маленьких отрезков Δ𝑡=ε(𝑡𝑖+1=ε+𝑡𝑖).. В этом случае функцию 𝑥(𝑡) можно приближённо задать её значениями 𝑥𝑖=𝑥(𝑡𝑖) в моменты 𝑡𝑖. Функционал 𝐹[𝑥(𝑡)] будет тогда зависеть от всех величин 𝑥𝑖, т.е. он превращается в обычную функцию многих переменных 𝑥𝑖.
𝐹[𝑥(𝑡)]
→
𝐹(…,
𝑥
𝑖
,
𝑥
𝑖+1
,
…).
(7.21)
Рассмотрим теперь ∂𝐹/∂𝑥𝑖 — частную производную этой функции по одному из переменных 𝑥𝑖. Наша функциональная производная есть не что иное, как в точности эта частная производная, поделённая на ε и взятая в точке 𝑡𝑖=𝑠, т.е.
δ𝐹
δ𝑥(𝑠)
→
1
ε
∂𝐹
∂𝑥𝑖
(7.22)
В этом легко убедиться следующим образом. Если траекторию 𝑥(𝑡) заменить на 𝑥(𝑡)+η(𝑡), то все значения 𝑥𝑖 заменятся на 𝑥𝑖+η𝑖, где η𝑖=η(𝑡𝑖), поэтому в первом приближении получаем
𝐹(…,
𝑥
𝑖
+
η
𝑖
,
𝑥
𝑖+1
+
η
𝑖+1
,
…)-
-
𝐹(…,
𝑥
𝑖
,
𝑥
𝑖+1
,
…).
=
∑
𝑖
∂𝐹
∂𝑥𝑖
η
𝑖
,
(7.23)
что следует из обычных правил вычисления частных производных. Если теперь обозначить (1/ε)(∂𝐹/∂𝑥𝑖)=𝐾𝑖, то сумма в (7.23) запишется как
∑
𝑖
𝐾
𝑖
η
𝑖
ε
и в пределе при ε→0 перейдёт в интеграл ∫𝐾(𝑡)η(𝑡)𝑑𝑡, так что если этот предел существует, то он равен функциональной производной δ𝐹/δ𝑥(𝑠).
Можно также воспользоваться понятием дифференциала. При этом сразу пишется выражение
𝑑𝑓
=
∑
𝑖
∂𝑓
∂𝑥𝑖
𝑑𝑥
𝑖
,
и для первой вариации любого заданного функционала 𝐹 получим
δ𝐹
=
∫
δ𝐹
δ𝑥(𝑠)
δ𝑥(𝑠)
𝑑𝑠
,
