𝑆0
+… .
(7.6)
Этот ряд является обобщением разложения (6.3) и может рассматриваться как основа теории возмущений. Отсюда можно получить матричные элементы перехода, встречающиеся в целом ряде квантовомеханических задач.
Предположим, что возмущающий потенциал и обусловленная им часть функции действия σ связаны соотношением
σ=
∫
𝑉[χ(𝑡),𝑡]
𝑑𝑡
.
(7.7)
В этом случае в первом приближении получим матричный элемент перехода
⟨χ|1|ψ⟩
𝑆0
=
∫
⟨|𝑉[𝑥(𝑡),𝑡]|φ⟩
𝑆0
𝑑𝑡
.
(7.8)
Чтобы вычислить его, нужно взять интеграл
⟨|𝑉[𝑥(𝑡),𝑡]|φ⟩
𝑆0
=
=
∫
𝑥2
∫
𝑥1
∫
χ*(𝑥
2
)
𝑒
𝑖𝑆0/ℏ
𝑉[𝑥(𝑡),𝑡]
ψ(𝑥
1
)
𝑑𝑥
1
𝑑𝑥
2
𝒟𝑥(𝑡)
.
(7.9)
Первый шаг при вычислении этого интеграла в точности совпадает с тем, что мы делали в соотношениях (6.8) — (6.11) при вычислении ядра 𝐾(1). Выражение для интеграла по траекториям получается путём интегрирования по координатам обеих конечных точек 𝑥1 и 𝑥2 и по координатам промежуточной точки 𝑥3 [обозначенной в соотношении (6.10) через 𝑐]. Таким образом,
⟨|𝑉[𝑥(𝑡),𝑡]|φ⟩
𝑆0
=
∫
χ*(𝑥
2
)
𝐾
0
(2,3)
𝑉(3)
𝐾
0
(3,1)
ψ(𝑥
1
)
𝑑𝑥
1
𝑑𝑥
2
𝑑𝑥
3
.
(7.10)
Мы получили это выражение, основываясь на трёх допущениях: во-первых, применили интегральное правило (3.42) для волновой функции; далее, для написания амплитуды мы взяли выражение (5.31), определяющее вероятность того, что система, находящаяся в каком-то определённом состоянии, может быть найдена и в некотором другом состоянии; наконец, для ядра, описывающего движение системы, употребили первое приближение теории возмущений (6.11). Все это в совокупности определяет матричный элемент перехода (7.10). Квадратмодуля этого выражения представляет собой вероятность того, что система, находившаяся в исходном состоянии ψ, может под действием малого возмущающего потенциала 𝑉(𝑥,𝑡) перейти далее в состояние χ (если это последнее не является состоянием системы при 𝑉=0, т.е. если ⟨χ|1|ψ⟩=0).
Соотношение (3.42) позволяет нам ввести сокращённые обозначения подобно тому, как это было сделано в соотношении (6.23) при переходе к выражению (6.25). Определим функцию ψ(𝑥3𝑡3) как
ψ(3)
=
∫
𝐾
0
(3,1)
ψ(𝑥
1
)
𝑑𝑥
1
.
(7.11)
Это — волновая функция в момент 𝑡3, возникающая из начальной волновой функции в случае, когда нет возмущения. Аналогично определим функцию
χ*(𝑥
3
,𝑡
3
)
=
∫
χ*(𝑥
2
)
𝐾
0
(2,3)
𝑑𝑥
2
,
(7.12)
комплексно сопряжённую волновой функции, которая (при отсутствии возмущения) в момент 𝑡3 будет совпадать с функцией χ(𝑥2) в момент 𝑡2 [см. уравнение (4.38) и задачу 4.7].
С помощью вновь введённых волновых функций член первого порядка теории возмущений можно записать более просто:
⟨χ|
∫
𝑉[𝑥(𝑡),𝑡]
𝑑𝑥
|ψ⟩
𝑆0
=
∫∫
χ³(3)
𝑉(3)
ψ(3)
𝑑𝑥
3
𝑑𝑡
3
,
(7.13)
откуда видно, что амплитуда перехода, представленная в такой форме, является обобщением амплитуды перехода λ𝑚𝑛, введённой в § 5 гл. 6. Если волновые функции в правой части соотношения (7.13) являются собственными функциями, то результирующая амплитуда перехода будет просто совпадать с амплитудой λ¹𝑚𝑛, определяемой соотношением (6.70).
Таким образом, вычисление элемента перехода для функционала 𝐹[𝑥(𝑡)], зависящего от времени 𝑡 только через 𝑥(𝑡), как и вычисление интеграла по времени от такого функционала, не вызывает затруднений. Легко вычисляется и элемент перехода для функционалов, зависящих от функций 𝑥, определённых для двух разных моментов времени. Такая задача встречается, например, при рассмотрении члена второго порядка ряда теории возмущений. Этот член можно записать в виде
1
2ℏ²
⟨χ|σ²|ψ⟩
𝑆0
=
1
2ℏ²
∫∫
⟨χ|
𝑉[𝑥(𝑡),𝑡]
𝑉[𝑥(𝑠),𝑥]
|ψ⟩
𝑑𝑡
𝑑𝑠
.
(7.14)
Подынтегральное выражение в этом соотношении само по себе является матричным элементом перехода и может быть представлено как
⟨χ|
𝑉[𝑥(𝑡),𝑡]
𝑉[𝑥(𝑠),𝑠]
|ψ⟩
=
∫∫
χ*(4)
𝑉(4)
𝐾
0
(4,3)
𝑉(3)
ψ(3)
𝑑𝑥
3
𝑑𝑥
4
,
(7.15)
где мы обозначили 𝑡3=𝑠; 𝑡4=𝑡 для случая 𝑠<𝑡 и 𝑡3=𝑡; 𝑡4=𝑠 для 𝑠>𝑡.
Таким образом, член второго порядка в разложении теории возмущений имеет вид
1
2ℏ²
⟨χ|
∫
𝑉[𝑥(𝑡),𝑡]
𝑑𝑡
∫
𝑉[𝑥(𝑠),𝑠]
𝑑𝑠
|ψ⟩
=
=
∫∫
χ*(4)
𝑉(4)
𝐾
0
(4,3)
ψ(3)
𝑑𝑥
3
𝑑𝑡
3
𝑑𝑥
4
𝑑𝑡
4
,
(7.16)
что можно понимать как обобщение амплитуды перехода (6.74). Нетрудно написать также выражения, содержащие три или более функций.
Соотношение (7.4) соответствует и более общему виду теории возмущений. Для примера рассмотрим частицу, взаимодействующую с каким-либо осциллятором. После интегрирования по координатам осциллятора результирующую функцию действия можно написать как 𝑆0+σ, где (см. § 10 гл. 3)
σ=
1
𝑚ω sin 𝑚𝑇
𝑡2
∫
𝑡1
𝑡
∫
𝑡1
𝑔[𝑥(𝑡),𝑡]
𝑔[𝑥(𝑠),𝑠]
sin ω(𝑡
2
-𝑡)
sin ω(𝑠-𝑡
1
)
𝑑𝑠
𝑑𝑡
.
(7.17)
Функционал 𝑔[𝑥(𝑡),𝑡] здесь характеризует взаимодействие частицы и осциллятора; 𝑇=𝑡2-𝑡1.
