Предположим, что в момент 𝑡2 мы задаём вопрос: какова вероятность найти систему в некотором состоянии χ(𝑥2,𝑡2)? Как мы знаем из общих соображений, развитых в гл. 5, вероятность того, что система будет находиться в определённом состоянии, пропорциональна квадрату модуля амплитуды, определяемой интегралом
∫
χ*(𝑥
2
,𝑡
2
)
φ(𝑥
2
,𝑡
2
)
𝑑𝑥
2
Из гл. 3 нам также известно, что функция φ может быть выражена через начальную волновую функцию с помощью ядра 𝐾, описывающего движение системы в интервале между моментами времени 𝑡1 и 𝑡2. Поэтому при отыскании вероятности пребывания системы в каком-то определённом состоянии можно исходить из начальной волновой функции φ, учитывая зависимость от времени с помощью ядра 𝐾(2,1).
Результирующую амплитуду, абсолютная величина которой даёт искомую вероятность, назовём амплитудой перехода и обозначим её так:
⟨χ|1|ψ⟩
=
∫∫
χ*(𝑥
2
)
𝐾(2,1)
ψ(𝑥
1
)
𝑑𝑥
2
𝑑𝑥
1
.
(7.1)
При описании процесса перехода для нас было бы сейчас предпочтительнее вернуться к более общим обозначениям. Введём для этого снова функцию действия 𝑆, описывающую поведение системы в интервале между двумя моментами времени, и запишем амплитуду перехода в виде
⟨χ|1|ψ⟩
𝑆
=
∫
𝑥2
∫
𝑥1
∫
χ*(𝑥
0
)
𝑒
𝑖𝑆/ℏ
ψ(𝑥
1
)
𝒟𝑥(𝑡)
𝑑𝑥
1
𝑑𝑥
2
.
(7.2)
Здесь мы применяем более точное обозначение, добавив в амплитуду перехода индекс 𝑆, чтобы указать величину действия, входящего в интеграл. Этот интеграл необходимо взять по всем траекториям, которые соединяют точки 𝑥1 и 𝑥2, результат умножить на две волновые функции и затем ещё раз проинтегрировать по всем пространственным переменным в указанных пределах.
Прежде чем пойти дальше, договоримся о новых, лучших обозначениях, с тем чтобы охватить более общие случаи. Введём функционал 𝐹[𝑥(𝑡)], не касаясь пока его физической природы. С помощью этого функционала определим матричный элемент перехода как
⟨χ|𝐹|ψ⟩
𝑆
=
∫∫∫
χ*(𝑥
2
)
𝐹[𝑥(𝑡)]
𝑒
𝑖𝑆/ℏ
ψ(𝑥
1
)
𝒟𝑥(𝑡)
𝑑𝑥
1
𝑑𝑥
2
.
(7.3)
Здесь 𝐹 — некоторый функционал от 𝑥(𝑡), не зависящий от значений функции 𝑥(𝑡) на границе и вне области изменения переменных 𝑥1 и 𝑥2. В частном случае, когда 𝐹=1, интеграл (7.3) определяет амплитуду перехода.
Матричные элементы перехода трудно представить себе, если опираться на интуитивные понятия. Поэтому для того, чтобы хотя бы частично использовать такие понятия, обычно обращаются к некоторой классической аналогии. Рассмотрим, например, картину броуновского движения какой-то очень маленькой частицы. Пусть в некоторый начальный момент 𝑡=𝑡1 эта частица находится в точке 𝑥1 и мы ищем вероятность того, что частица достигнет точки 𝑥2 в момент 𝑡=𝑡2. В случае квантовомеханических частиц мы обычно говорим о переходе из начального в некоторое конечное состояние. Поэтому точка 𝑥1 для броуновской частицы соответствует начальной волновой функции ψ(𝑥1) в выражении (7.2), а точка 𝑥2 — функции χ(𝑥2). Далее, решение квантовомеханической задачи требует интегрирования по переменным 𝑥1 и 𝑥2 начального и конечного состояний — шаг, совершенно ненужный в нашей классической задаче.
Классическую задачу можно решить, рассматривая все возможные траектории движения частиц. При этом мы должны были бы вклад каждой траектории брать с весом, равным вероятности того, что частица действительно следует вдоль такой траектории, и вычислить интеграл по всем траекториям. Весовая функция здесь будет соответствовать члену 𝑒𝑖𝑆/ℏ, входящему в интеграл (7-2).
Конечное положение частицы в такой задаче не будет определяться отдельной точкой, а выразится некоторой малой окрестностью точки 𝑥2 (от 𝑥2 до 𝑥2+𝑑𝑥). После соответствующей нормировки результат будет иметь вид функции распределения 𝑃(𝑥2)𝑑𝑥2, определяющей вероятность достижения бесконечно малой окрестности точки 𝑥2. Эта функция является аналогом амплитуды перехода (7.2), в случае, когда ψ и χ являются δ-функциями пространственных координат.
Допустим теперь, что мы хотим узнать о движении несколько больше, чем просто относительную вероятность достижения точки 𝑥2: например, мы хотели бы найти ускорение, которое будет иметь частица через некоторое определённое время (скажем, 1 сек) после начала движения. Для этого нам нужно было бы знать вероятные значения всех ускорений, т.е. величину ускорения для каждой возможной траектории, взятую с весом, равным вероятности движения вдоль этой траектории. Такая усреднённая величина будет соответствовать матричному элементу перехода (7.3). Суть этого утверждения заключается в том, что в подынтегральную функцию соотношения (7.3) мы вместо функции 𝐹[𝑥(𝑡)] должны подставить ускорение, взятое в некоторый момент времени 𝑡. С помощью интегралов по траекториям решение классической задачи можно представить в виде, очень похожем на соотношение (7.3).
Далее в этой главе мы будем пользоваться подобной аналогией и время от времени будем рассматривать матричные элементы перехода как «взвешенные средние». Необходимо, однако, помнить, что весовая функция в квантовой механике является комплексной величиной и поэтому результат не будет «средним» в обычном смысле этого слова.
Описание броуновского движения методом интегралов по траекториям, как это было показано в нашей классической аналогии, действительно является очень мощным методом. Детально это будет рассмотрено в гл. 12, а сейчас мы с помощью теории возмущений, развитой в гл. 6, попытаемся ещё несколько прояснить смысл матричного элемента перехода.
Случай малых возмущений. Предположим, что действие, описывающее движение системы, можно разделить на две части: 𝑆=𝑆0+σ, где 𝑆0 приводит лишь к простым интегралам по траекториям, в то время как оставшаяся часть а достаточно мала и мы можем применить метод теории возмущений. Экспоненциальную функцию в соотношении (7.2) представим в виде
𝑒
𝑖𝑆/ℏ
=
𝑒
𝑖𝑆0/ℏ
𝑒
𝑖σ/ℏ
.
(7.4)
Учитывая теперь соотношение (7.3), запишем матричный элемент перехода (7.2) в виде
⟨χ|1|ψ⟩
𝑆0+σ
=
⟨χ|𝑒
𝑖σ/ℏ
|ψ⟩
𝑆0
,
(7.5)
а после разложения экспоненты в ряд получим
⟨χ|1|ψ⟩
𝑆0+σ
=
⟨χ|1|ψ⟩
𝑆0
+
𝑖
ℏ
⟨χ|σ|ψ⟩
𝑆0
-
1
2ℏ²
⟨χ|σ²|ψ⟩
