𝑍

=

𝑒

^-β𝐹

(11.1)

В соотношении (10.30) функция распределения была представлена как интеграл от матрицы плотности ρ(𝑥,𝑥). Затем в § 2 гл. 10 было получено выражение матрицы ρ(𝑥,𝑥) в виде некоторого ядра. Это позволило нам записать

𝑍

=

_∞

∫

^-∞

_𝑥1

∫

^𝑥₁

𝑒

^𝑆/ℏ

𝒟𝑥(𝑢)

𝑑𝑥

₁

,

(11.2)

если переменную «времени» 𝑢 рассматривать как мнимую величину.

В § 3 гл. 10 мы развили формализм теории возмущений для вычисления интегралов по траекториям, определяющих функцию распределения в некоторых частных случаях. Теперь опишем другой метод, применимый в тех случаях, когда действие 𝑆 является действительной величиной, как это имеет место, например, в обычных задачах без магнитного поля (и без учёта спина).

Всюду в этой главе мы будем предполагать, что при нашем выборе единиц ℏ=1. Если возникнет необходимость ввести ℏ для того, чтобы подчеркнуть квантовомеханический характер результата, это можно сделать непосредственным анализом размерности.

Пусть нам известно, что некоторая функция 𝑆' удовлетворяет двум условиям: во-первых, 𝑆' — достаточно простое выражение, так что для простых функционалов 𝐺 можно вычислить интегралы вида ∫𝑒^𝑆'𝒟𝑥(𝑡) или ∫𝐺𝑒^𝑆'𝒟𝑥(𝑡); во-вторых, траектории, дающие существенный вклад в интегралы ∫𝑒^𝑆𝒟𝑥(𝑡) и ∫𝑒^𝑆'𝒟𝑥(𝑡), одинаковы, т.е. величины 𝑆' и 𝑆 близки в случае, когда они обе малы. Предположим далее, что 𝐹' — свободная энергия, соответствующая действию 𝑆'. Это означает, что

𝑒

^-β𝐹'

=

_∞

∫

^-∞

_𝑥1

∫

^𝑥₁

𝑒

^𝑆'

𝒟𝑥(𝑢)

𝑑𝑥

₁

,

(11.3)

и поэтому

∫∫𝑒^𝑆𝒟𝑥(𝑢)𝑑𝑥₁

∫∫𝑒^𝑆'𝒟𝑥(𝑢)𝑑𝑥₁

=

𝑒

^{-β(𝐹-𝐹')}

.

(11.4)

Так как 𝑒^𝑆=𝑒^𝑆-𝑆'𝑒^𝑆', то соотношение (11.4) можно записать в виде

∬

𝑒

^𝑆-𝑆'

𝑒

^𝑆'

𝒟𝑥(𝑡)

𝑑𝑥

₁

⎡

⎢

⎣

∬

𝑒

^𝑆'

𝒟𝑥(𝑡)

𝑑𝑥

₁

⎤-1

⎥

⎦

=

𝑒

^{-β(𝐹-𝐹')}

.

(11.5)

Это выражение утверждает, что экспонента exp[-β(𝐹-𝐹')] представляет собой среднее значение от величины exp(𝑆-𝑆'); усреднение производится по всем траекториям, совпадающим в начальной и конечной точках, с весом 𝑒^𝑆'𝒟𝑥(𝑡) для каждой траектории. При усреднении учитываются все возможные значения 𝑥₁.

Для дальнейших вычислений можно было бы предположить разности 𝑆-𝑆' и 𝐹-𝐹' малыми и соответствующие экспоненты в обеих частях равенства разложить с точностью до величин первого порядка малости. Справедливость такого шага представляется сомнительной, так как величина β(𝐹-𝐹') не мала, если β велико. Однако сравнение членов более высокого порядка показывает, что это тем не менее оказывается хорошим приближением к величине 𝐹-𝐹'.

К тому же выводу можно прийти весьма строгим и убедительным путём. В самом деле, среднее значение экспоненты 𝑑^𝑥, где 𝑥 — независимая переменная, всегда больше или равно, чем экспонента от среднего значения 𝑥, до тех пор, пока 𝑥 — действительная величина и используемые при усреднении веса положительны, т.е.

⟨𝑒

^𝑥

⟩

≥

𝑒

^⟨𝑥⟩

,

(11.6)

где ⟨𝑥⟩ — средневзвешенное значение 𝑥. Это следует из того, что кривая функции 𝑒^𝑥 вогнута вверх, как изображено на фиг. 11.1, так что если вдоль неё расположены массы, то центр тяжести этих масс лежит выше кривой. Ордината этого центра тяжести равна среднему значению ординат точек, т.е. ⟨𝑒^𝑥⟩. Эта величина, очевидно, превышает 𝑒^⟨𝑥⟩ — ординату кривой в точке, соответствующей абсциссе центра тяжести, которая равна среднему значению ⟨𝑥⟩.

Фиг. 11.1 Экспонента от среднего и среднее от экспоненты.

Мы считаем, что весовые множители 𝑎_𝑖 положительны, и рассматриваем их как различные массы, размещённые вдоль кривой. Тогда вследствие вогнутости кривой 𝑒^𝑥 экспонента от среднего значения 𝑥 т.е. 𝑒^⟨𝑥⟩, должна лежать ниже, чем средневзвешенное от экспоненты. Величина 𝑒^⟨𝑥⟩ лежит на кривой, а ⟨𝑒^𝑥⟩ -— центр тяжести указанных точек — должен быть расположен над кривой.

В левой части равенства (11.5) берём среднее значение величины 𝑒^𝑆-𝑆' по траекториям с положительными весами 𝑒^𝑆'𝒟𝑥(𝑡), где 𝑆' и 𝑆 действительные величины. Следовательно, в соответствии с (11.6) эта величина превысит exp⟨𝑆-𝑆'⟩, где ⟨𝑆-𝑆'⟩ — среднее значение 𝑆-𝑆' при том же способе усреднения [т.е. с весом 𝑒^𝑆'𝒟𝑥(𝑡). Это означает, что

⟨𝑆-𝑆'⟩

=

∬

(𝑆-𝑆')

𝑒

^𝑆'

𝒟𝑥(𝑡)

𝑑𝑥

₁

⎡

⎢

⎣

∬

𝑒

^𝑆'

𝒟𝑥(𝑡)

𝑑𝑥

₁

⎤-1

⎥

⎦

(11.7)

и, следовательно,

𝑒

^{⟨𝑆-𝑆'⟩}

≤

𝑒

^{-β(𝐹-𝐹')}

.

(11.8)

Отсюда

𝐹

₀

≤𝐹'

₀

-

1

β

⟨𝑆-𝑆'⟩

.

(11.9)

И окончательно

𝐹≤𝐹'-δ

,

(11.10)

где

δ=

1

β

∬

(𝑆-𝑆')

𝑒

^𝑆'

𝒟𝑥(𝑡)

𝑑𝑥

₁

⎡

⎢

⎣

∬

𝑒

^𝑆'

𝒟𝑥(𝑡)

𝑑𝑥

₁

⎤-1

⎥

⎦

(11.11)

Именно здесь оказывается кстати принцип минимума. Он гласит, что если бы мы вычислили 𝐹'₀-δ для различных «действий» 𝑆' то результат, дающий наименьшее значение, был бы наиболее близок к правильному значению свободной энергии 𝐹 ²⁰). На самом деле энергия 𝐹 соответствует, конечно, случаю 𝑆'=𝑆, однако можно считать, что если 𝑆 и 𝑆' отличаются на некоторую величину первого порядка малости, то отличие 𝐹'-δ от 𝐹 не превышает величины второго порядка малости.

²⁰ Стоит снова подчеркнуть, что как 𝑆, так и 𝑆' не являются функционалами действия в собственно физическом значении этого понятия, так как оба они содержат мнимую переменную 𝑢 использованную в качестве «временной» переменной. Однако оперировать с интегралами по траекториям для этих функционалов можно так же, как для использованных выше физических функционалов действия.