Если бы удалось угадать общий вид функции 𝑆', пусть даже с точностью до каких-то неопределённых параметров, то можно было бы вычислить 𝐹'-δ, оставляя эти параметры неизвестными. Затем, минимизируя 𝐹'-δ, можно было бы подобрать лучшие значения этих параметров, «лучшие» в том смысле, что для них 𝐹'-δ наименее отличалось бы от истинного значения энергии 𝐹
Аналогичный принцип минимума можно использовать, чтобы определить приближённое значение энергии наинизшего состояния системы 𝐸0. Напомним, что
𝑍
=
𝑒
-β𝐹
=
∞
∑
𝑛
𝑒
-β𝐸𝑛
.
(11.12)
По мере того как температура системы убывает (т.е. с ростом величины β), члены этого ряда, содержащие более высокие значения энергии, становятся все менее и менее существенными. При определённых обстоятельствах в ряду 𝑍 будет преобладать член с наименьшей энергией 𝑒-β𝐸0, т.е.
lim
𝑍
=
𝑒
-β𝐸0
.
β→∞
(11.13)
Теперь, рассуждая подобно предыдущему случаю, можно просто заменить в формулах 𝐹 на 𝐸0. Определим 𝐸'0 как результат вычисления интеграла по траекториям с новым действием 𝑆 и запишем
𝐸
0
≤𝐸'
0
-δ
(11.14)
в качестве первого приближения в пределе больших значений β.
При отыскании 𝐸0 с помощью этого приёма наша задача будет несколько проще, чем в случае свободной энергии 𝐹. В частности, можно пренебречь условием совпадения начальной и конечной точек траекторий. Чтобы понять это, вернёмся к выражению (10.28) и заметим, что с ростом β в матрице плотности ρ(𝑥',𝑥) доминирующим также становится член нулевого порядка и она стремится к величине 𝑒-β𝐸0(𝑥')φ*0(𝑥). Поэтому точки 𝑥' и 𝑥 войдут только в предэкспоненциальный множитель, и их положение не повлияет на поведение экспоненты, в то время как оно является основным в таком вычислении 𝐸0.
§ 2. Применение вариационного метода
В качестве примера вычисления функции распределения с использованием только что описанного вариационного принципа рассмотрим случай одномерного движения одной частицы. Используя приближение, развитое в гл. 10, действие для такой частицы можно записать в виде
𝑆
=-
β
∫
0
⎧
⎨
⎩
𝑚
2
[𝑥̇(𝑡)]²
+
𝑉[𝑥(𝑡)]
⎫
⎬
⎭
𝑑𝑡
.
(11.15)
Тогда при больших значениях β функция распределения равна
𝑒
-β𝐸0
≈
∫
𝑥0
∫
𝑥0
⎡
⎢
⎣
exp
⎧
⎪
⎩
-
β
∫
0
⎧
⎨
⎩
𝑚
2
[𝑥̇(𝑡)]²
+
𝑉[𝑥(𝑡)]
⎫
⎬
⎭
𝑑𝑡
⎫
⎪
⎭
⎤
⎥
⎦
𝒟𝑥(𝑡)
𝑑𝑥
0
.
(11.16)
Этот интеграл взят по тем тракториям, которые возвращаются к исходным начальным точкам; после его вычисления проводится дальнейшее интегрирование по всем возможным начальным точкам.
В § 2 гл. 10 мы уже рассмотрели аналогичную задачу и выяснили, каким образом здесь можно получить классическое приближение. В классическом пределе при высоких температурах (когда 𝓀𝑇 велико по сравнению с ℏ) величина βℏ столь мала, что траектории, проходящие далеко от точки 𝑥0, не дают заметного вклада. Поэтому потенциал можно заменить постоянной величиной 𝑉(𝑥0), и вклад интеграла по траектории будет постоянной величиной, равной
(𝑒
-β𝐸0
)
классич
=
⎧
⎪
⎩
𝑚
2πβ
⎫½
⎪
⎭
∫
𝑒
-β𝑉(𝑥)
𝑑𝑥
,
(11.17)
как показано в выражении (10.48).
В гл. 10 рассматривалось квантовомеханическое уточнение классического результата путём разложения потенциала в ряд около среднего положения траектории с точностью до членов второго порядка. Дальнейшее уточнение было достигнуто с помощью потенциала 𝑈, полученного специальным методом усреднения. Теперь мы видим, что такое приближение явилось частным случаем применения вариационного метода. Чтобы пояснить эту мысль, пересмотрим основные пункты рассуждений, используя обозначения и понятия этой главы.
Нашей задачей является вывести подходящую пробную функцию 𝑊(𝑥), где 𝑥 среднее положение траектории, определяемое выражением
𝑥
=
1
β
β
∫
0
𝑥(𝑡)
𝑑𝑡
.
(11.18)
Вдоль любой конкретной траектории эта подстановка фиксирует значение потенциала, так что действие принимает новый вид
𝑆'
=
-
β
∫
0
𝑚
2
𝑥̇²
𝑑𝑡
-
β𝑊(
𝑥
)
.
(11.19)
С помощью этого более общего выражения можно вычислить как 𝐹', так и ⟨𝑆-𝑆'⟩.
Следуя тем же путём, используем выражение (11.14). После всех необходимых подстановок получим
δ=
1
∬
⎡
⎢
⎣ exp
⎧
⎪
⎩ -
β
∫
0
𝑚
2 𝑥̇² 𝑑𝑡
⎫
⎪
⎭
⎤
⎥
⎦ {exp[ - β𝑊(𝑥) ]} 𝒟𝑥(𝑡) 𝑑𝑥0
×
×
⎧
⎪
⎩
-
∬
⎧
⎨
⎩
1
β
β
∫
0
𝑉[𝑥(𝑡')]
𝑑𝑡'
-
𝑊(
𝑥
)
⎫
⎬
⎭
×
×
⎡
⎢
⎣
exp
⎧
⎪
⎩
-
β
∫
0
𝑚
2
𝑥̇²
𝑑𝑡
⎫
⎪
⎭
⎤
⎥
⎦
{exp[
-
β𝑊(
𝑥
)
]}
𝒟𝑥(𝑡)
𝑑𝑥
0
⎫
⎪
⎭
.
(11.20)
Имеет смысл напомнить, что траектории, используемые в выражении (11.20), таковы, что их начальные и конечные точки совпадают и, подобно тому, как это сделано в формуле (11.16), в заключение проводится интегрирование по всем конечным точкам 𝑥0.
Отметим, что числитель выражения для δ очень похож на выражение для 𝐼(𝑥), введённое в (10.63), если ограничиться траекториями со средним значением 𝑥 и отложить интегрирование по всем возможным значениям 𝑥 на последний этап вычислений. Так же как и при нахождении величины 𝐼(𝑥), мы видим, что числитель в δ не зависит от 𝑡'. Интегралы по траекториям в числителе и знаменателе можно вычислить с помощью методов, применявшихся в гл. 10, и воспользоваться при этом результатом (10.65), заметив, что
