𝑌
=
𝑥
0
-
𝑥
.
(11.21)
Так как знаменатель является просто частным случаем выражения, стоящего в числителе, то
δ
=
∞
∫
-∞
∞
∫
-∞
[
𝑉(𝑥
0
)
-
𝑊(
𝑥
)
]
⎧
⎨
⎩
exp
⎡
⎢
⎣
-
6𝑚
β
(𝑥
0
-
𝑥
)²
⎤
⎥
⎦
⎫
⎬
⎭
×
×
{exp[
-
β𝑊(
𝑥
)
]}
𝑑𝑥
0
𝑑
𝑥
×
⎧
⎪
⎩
∞
∫
-∞
∞
∫
-∞
⎧
⎨
⎩
exp
⎡
⎢
⎣
-
6𝑚
β
(𝑥
0
-
𝑥
)²
⎤
⎥
⎦
⎫
⎬
⎭
×
×
{exp[
-
β𝑊(
𝑥
)
]}
𝑑𝑥
0
𝑑
𝑥
⎫-1
⎪
⎭
.
(11.22)
Интеграл по 𝑥0 в знаменателе выражения (11.22) легко вычисляется и даёт (βπ/6𝑚)½. Кроме того, интеграл в числителе, содержащий 𝑊(𝑥), даёт в точности такой же сомножитель. Для последующего интегрирования в числителе и упрощения окончательного выражения удобно ввести функцию
𝑉(𝑥)
=
6𝑚
πβ
∞
∫
-∞
𝑉(𝑥
0
)
⎧
⎨
⎩
exp
⎡
⎢
⎣
-
6𝑚
β
(𝑥
0
-
𝑥
)²
⎤
⎥
⎦
⎫
⎬
⎭
𝑑𝑥
0
.
(11.23)
Вид функции
𝑉(𝑥)
отражает учтённый нами квантовомеханический эффект. Эта функция является средневзвешенным потенциала 𝑉(𝑥0) с гауссовой весовой функцией, подобно тому, как мы имели для функции 𝑈(𝑥0), определённой соотношением (10.68); ширина гауссовой кривой равна снова (βℏ²/12𝑚)½. Для атома гелия при температуре 2° К эта ширина порядка 0,7 Å, однако при комнатных температурах она составит не более 2% от 2,7 Å (диаметр атома гелия). Величину δ теперь можно записать в виде
δ
=
∫ [ 𝑊(𝑥) -
𝑉(𝑥) ] {exp[ - β𝑊(𝑥) ]} 𝑑𝑥
∫ {exp[ - β𝑊(𝑥) ]} 𝑑𝑥
(11.24)
Следующий шаг состоит в вычислении 𝑊(𝑥), исходя из того, что в соответствии с выражением (11.13) мы должны получить наименьшее значение величины 𝐹'-δ. Значение 𝐹' определено выражением
exp(-β𝐸
'
0
)
=
∫
𝑒
𝑆'
𝒟𝑥(𝑡)
=
=
∫
⎧
⎨
⎩
exp
⎡
⎢
⎣
-
β
∫
0
𝑚
2
𝑥̇²
𝑑𝑡
-
β𝑊(
𝑥
)
⎤
⎥
⎦
⎫
⎬
⎭
𝒟𝑥(𝑡)
=
=
∫
{exp[-β𝑊(
𝑥
)]}
×
×
∫
𝑥 fixed
⎡
⎢
⎣
exp
⎧
⎪
⎩
-
β
∫
0
𝑚
2
𝑥̇²
𝑑𝑡
⎫
⎪
⎭
⎤
⎥
⎦
𝒟𝑥(𝑡)
𝑑
𝑥
.
(11.25)
Интеграл по траекториям здесь несложен и равен √𝑚/2πβ, так что получим
exp(-β𝐸
'
0
)
=
⎧
⎪
⎩
𝑚
2πβ
⎫½
⎪
⎭
∫
{exp[-β𝑊(
𝑥
)]}
𝑑
𝑥
.
(11.26)
Следующий шаг — оптимальный выбор функции 𝑊(𝑥) — требует, чтобы мы определили влияние малых изменений функции 𝑊(𝑥) на значение величины 𝐹'-δ и приравняли его нулю. Поэтому, представив 𝑊 в виде
𝑊
→
𝑊(
𝑥
)
+
η(
𝑥
)
,
(11.27)
найдём из выражения (11.26) вариацию 𝐹':
∂𝐸
'
0
=
∫
η(
𝑥
)
{exp[-β𝑊(
𝑥
)]}
𝑑
𝑥
∫ {exp[-β𝑊(𝑥)]} 𝑑𝑥
,
(11.28)
а из выражения (11.24) определим вариацию δ:
∂δ=
∫ {exp[-β𝑊(𝑥)]} { βη(𝑥) [
𝑉(𝑥) - 𝑊(𝑥)] + η(𝑥) } 𝑑𝑥
∫ {exp[-β𝑊(𝑥)]} 𝑑𝑥
+
+
1
( ∫ {exp[-β𝑊(𝑥)]} 𝑑𝑥 )²
×
∫
{exp[-β𝑊(
𝑥
)]}
×
×
[
𝑊(
𝑥
)
-
𝑉(𝑥)
]
𝑑
𝑥
∫
βη(
𝑥
)
{exp[-β𝑊(
𝑥
)]}
𝑑
𝑥
.
(11.29)
Для нахождения экстремального значения правой части выражения (11.13) необходимо, чтобы
∂𝐸
'
0
-
∂δ
=0,
(11.30)
что имеет место, если выбрать
𝑊(
𝑥
)
=
𝑉(𝑥)
.
(11.31)
Это в свою очередь означает, что δ=0 и что функция 𝐹' имеет такой же вид, как и классическая свободная энергия, определённая выражением (11.17). Однако потенциал в выражении для 𝐹' был заменён на 𝑉(𝑥), поэтому
exp(-β𝐸
'
0
)
=
⎧
⎪
⎩
𝑚
2πβ
⎫½
⎪
⎭
∫
{exp[-β
𝑉(𝑥)
]}
𝑑
𝑥
,
(11.32)
где
𝑉(𝑥)
— эффективный классический потенциал, заданный выражением (11.24). При больших значениях β свободная энергия системы по существу совпадает с нижним уровнем энергии 𝐸0 поэтому выражение (11.32) мы можем интерпретировать как аппроксимацию 𝐸0. Это означает, что вариационный подход приводит к тому же результату, что и подход, изложенный в гл. 10 [см. выражения (10.67) и (10.68)].
§ 3. Стандартный вариационный принцип
