-∞
-
ℏ²
2𝑚
∞
∫
-∞
𝑔*
𝑑²𝑓
𝑑𝑥²
𝑑𝑥
+
∞
∫
-∞
𝑉𝑔*𝑓𝑑𝑥
(4.31)
(здесь дважды выполнено интегрирование по частям). Если функции 𝑓 и 𝑔 на бесконечности обращаются в нуль, то проинтегрированные члены исчезают и равенство (4.30) доказано. Оператор, обладающий свойством (4.30), называется эрмитовым. Гамильтониан в квантовой механике всегда эрмитов. В более общих случаях, чем рассмотренный выше, интегрирование по одной переменной заменяется интегрированием (или суммированием) по всем переменным системы.
Положив функции 𝑓 и 𝑔 равными ψ(𝑥,𝑡), получим
∫
(𝐻ψ)*ψ
𝑑𝑥
=
∫
ψ*(𝐻ψ)
𝑑𝑥
,
(4.32)
и если функция ψ удовлетворяет волновому уравнению (4.14), то это выражение можно записать как
∫
∂ψ*
𝑑𝑡
ψ𝑑𝑥+
∫
ψ*
∂ψ
𝑑𝑡
𝑑𝑥
=
∂
𝑑𝑡
⎧
⎪
⎩
∫
ψ*ψ
𝑑𝑥
⎫
⎪
⎭
=0.
(4.33)
Отсюда видно, что величина ∫ψ*ψ𝑑𝑥 не зависит от времени. Это легко интерпретировать. Если функция ψ соответствующим образом нормирована, то ψ*ψ выражает вероятность найти систему в точке 𝑥, поэтому интеграл от ψ*ψ равен вероятности вообще обнаружить систему в какой-либо точке пространства. Это вероятность вполне достоверного события, и потому она постоянна и равна единице. Конечно, насколько это касается волнового уравнения, функция ψ может быть умножена на любую постоянную и по-прежнему останется его решением. Квадрат этой константы войдёт в произведение ψ*ψ, и именно ему будет теперь равняться значение интеграла.
В нашем толковании функции ψ как амплитуды вероятности равенство интеграла от ψ*ψ константе является совершенно фундаментальным. На языке функций 𝐾 это означает, что в момент времени 𝑡2 интеграл от квадрата модуля волновой функции имеет ту же самую величину, что и в момент времени 𝑡1 т.е. если
ψ(2)=
∫
𝐾(2,1)
𝑓(1)𝑑𝑥
1
,
(4.34)
то
∫
ψ*(2)ψ(2)𝑑𝑥
2
=
∫
𝑓*(1)𝑓(1)𝑑𝑥
1
,
(4.35)
или
∫
∫
∫
𝐾*(2;𝑥
'
1
,𝑡
1
)
𝐾*(2;𝑥
1
,𝑡
1
)
𝑓*(𝑥
'
1
)
𝑓(𝑥
1
)
𝑑𝑥
1
𝑑𝑥
'
1
𝑑𝑥
2
=
=
∫
𝑓*(𝑥
1
)
𝑓(𝑥
1
)
𝑑𝑥
1
.
(4.36)
Так как это должно выполняться для любой функции 𝑓, то
∫
𝐾*(2;𝑥
'
1
,𝑡
1
)
𝐾*(2;𝑥
1
,𝑡
1
)
𝑑𝑥
2
=
δ(𝑥
'
1
-𝑥
1
).
(4.37)
Следовательно, для того чтобы можно было интерпретировать функцию ψ как амплитуду вероятности, необходимо, чтобы ядро 𝐾 удовлетворяло соотношению (4.37). Мы получили это, исходя из уравнения Шрёдингера. Было бы приятнее вывести это соотношение и другие свойства, такие, как (4.38) и результат задачи (4.7), прямо на основе определения ядра 𝐾 как интеграла по траекториям и не переходить к дифференциальному уравнению. Это, конечно, можно сделать, однако в этом случае вывод не будет столь простым и изящным, каким он должен быть для таких важных соотношений. Справедливость (4.37) можно проверить следующим образом: для малого интервала, когда 𝑡1=𝑡2-ε, оно непосредственно следует из выражения exp(𝑖ε𝐿/ℏ) Методом индукции соотношение (4.37) можно далее обобщить для любого интервала. Один из недостатков подхода к квантовой механике, основанного на интегралах по траекториям, состоит в том, что соотношения, включающие такие сопряжённые величины, как ψ* или 𝐾*, не очевидны сами по себе.
Умножая обе части выражения (4.37) на функцию 𝐾(1,3) и интегрируя по переменной 𝑥1 можно показать, что для 𝑡2>𝑡1>𝑡3
∫
𝐾*(2,1)
𝐾(2,3)
𝑑𝑥
2
=
𝐾(1,3).
(4.38)
Сравним это с равенством
∫
𝐾(1,2)
𝐾(2,3)
𝑑𝑥
2
=
𝐾(1,3),
где 𝑡1>𝑡2>𝑡3. Последнее равенство мы можем истолковать следующим образом: если за исходную взята точка 𝑡3, то 𝐾(2,3) даёт нам амплитуду вероятности для более позднего момента времени 𝑡2. Если мы хотим перейти к ещё более позднему моменту времени 𝑡1 то это можно сделать, используя ядро 𝐾(1,2). С другой стороны, если, зная амплитуду в момент времени 𝑡2, мы захотим вернуться назад, чтобы определить её в более ранний момент времени 𝑡1<𝑡2, то это можно сделать, используя ядро 𝐾*(2,1) в соответствии с равенством (4.38). Следовательно, можно сказать, что действие сопряжённого ядра 𝐾*(2,1) компенсирует действие ядра 𝐾(1,2).
Задача 4.7. Покажите, что если 𝑡1<𝑡3, то левая часть равенства (4.38) равна 𝐾*(3,1).
§ 2. Гамильтониан, не зависящий от времени
Стационарные состояния с определённой энергией. Специальный случай, когда гамильтониан 𝐻 оказывается не зависящим от времени, очень важен в практическом отношении. Ему соответствует действие 𝑆, не зависящее явным образом от времени 𝑡 (например, когда потенциалы 𝐀 и 𝑉 не содержат время 𝑡). В таком случае ядро зависит не от переменной времени 𝑡, а будет функцией лишь интервала 𝑡2-𝑡1. Вследствие этого факта возникают волновые функции с периодической зависимостью от времени.
Как это происходит, легче всего понять, если обратиться к дифференциальному уравнению. Попытаемся найти частное решение уравнения Шрёдингера (4.14) в виде ψ=𝑓(𝑡)φ(𝑥), т.е. в виде произведения функции, зависящей только от времени, и функции, зависящей только от координат. Подстановка в уравнение (4.14) даёт соотношение
-
ℏ
𝑖
𝑓'(𝑡)φ(𝑥)
=
𝐻𝑓(𝑡)φ(𝑥)
=
𝑓(𝑡)𝐻φ(𝑥),
(4.39)
или
-
ℏ
𝑖
𝑓'
𝑓
=
1
φ
𝐻φ.
(4.40)
Левая часть этого уравнения не зависит от 𝑥, тогда как правая не содержит зависимости от 𝑡. Для того чтобы это уравнение удовлетворялось при любых 𝑥 и 𝑡, обе его части не должны зависеть от этих переменных, т.е. должны быть постоянными. Обозначим такую постоянную через 𝐸. Тогда
