𝑓'=
-
𝑖
ℏ
𝐸𝑓,
или
𝑓=
𝑒
-𝑖𝐸𝑡/ℏ
с точностью до произвольного постоянного множителя. Таким образом, искомое частное решение имеет вид
ψ(𝑥,𝑡)
=
𝑒
-(𝑖/ℏ)𝐸𝑡
φ(𝑥),
(4.41)
где функция φ удовлетворяет уравнению
𝐻φ
=
𝐸φ,
(4.42)
а это как раз и означает, что соответствующая такому частному решению волновая функция осциллирует с определённой частотой. Мы уже видели, что частота осцилляций волновой функции связана с классической энергией. Поэтому когда волновая функция системы имеет вид (4.41), то говорят, что система обладает определённой энергией 𝐸. Каждому значению энергии 𝐸 соответствует своя особая функция φ — частное решение уравнения (4.42).
Вероятность того, что частица находится в точке 𝑥, задаётся квадратом модуля волновой функции ψ, т.е. |ψ|². В силу равенства (4.41) эта вероятность равна |φ|² и не зависит от времени. Другими словами, вероятность обнаружить частицу в какой-либо точке пространства не зависит от времени. В таких случаях говорят, что система находится в стационарном состоянии — стационарном в том смысле, что вероятности никак не изменяются со временем.
Подобная стационарность в какой-то степени связана с принципом неопределённости, поскольку, если нам известно, что энергия точно равна 𝐸, время должно быть полностью неопределённым. Это согласуется с нашим представлением о том, что свойства атома в точно определённом состоянии совершенно не зависят от времени, и при измерениях мы получали бы тот же самый результат в любой момент.
Пусть 𝐸1 — значение энергии, при котором уравнение (4.42) имеет решение φ1 и 𝐸2 — другое значение энергии, соответствующее некоторому другому решению φ2. Тогда мы знаем два частных решения уравнения Шрёдингера, а именно:
φ
1
=
𝑒
-(𝑖/ℏ)𝐸1𝑡
φ
1
(𝑥)
и
ψ
2
=
𝑒
-(𝑖/ℏ)𝐸2𝑡
φ
2
(𝑥);
(4.43)
так как уравнение Шрёдингера линейно, то ясно, что наряду с ψ его решением будет и 𝑐ψ. Кроме того, если ψ1 и ψ2 — два решения уравнения, то и сумма их также является решением. Поэтому ясно, что функция
ψ=
𝑐
1
𝑒
-(𝑖/ℏ)𝐸1𝑡
φ
1
(𝑥)
+
𝑐
2
𝑒
-(𝑖/ℏ)𝐸2𝑡
φ
2
(𝑥)
(4.44)
тоже будет решением уравнения Шрёдингера.
Вообще можно показать, что если известны все возможные значения энергии 𝐸 и найдены соответствующие им функции φ то любое решение ψ уравнения (4.14) можно представить в виде линейной комбинации всех частных решений типа (4.43), соответствующих определённым значениям энергии.
Полная вероятность найти систему в какой-либо точке пространства, как показано в предыдущем параграфе, является константой. Это должно быть справедливо при любых значениях 𝑐1 и 𝑐2. Поэтому, используя для функции ψ выражение (4.44) получаем
∫
ψ*ψ
𝑑𝑥
=
𝑐
*
1
𝑐
2
∫
|φ
1
|²
𝑑𝑥
+
𝑐
*
1
𝑐
2
exp
⎡
⎢
⎣
𝑖
ℏ
(𝐸
1
-𝐸
2
)𝑡
⎤
⎥
⎦
∫
φ
*
1
φ
2
𝑑𝑥
+
+
𝑐
1
𝑐
*
2
exp-
𝑖
ℏ
(𝐸
1
-𝐸
2
)𝑡
∫
φ
1
φ
*
2
𝑑𝑥
+
𝑐
*
2
𝑐
2
∫
φ
*
2
φ
2
𝑑𝑥.
(4.45)
Так как правая часть должна оставаться постоянной, то зависящие от времени члены (т.е. члены, содержащие экспоненты exp[±(𝑖/ℏ)(𝐸1-𝐸2)𝑡] должны обращаться в нуль независимо от выбора коэффициентов 𝑐1 и 𝑐2. Это означает, что
∞
∫
-∞
φ
*
1
φ
2
𝑑𝑥
=
∞
∫
-∞
φ
1
φ
*
2
𝑑𝑥
=0.
(4.46)
Если две функции 𝑓 и 𝑔 удовлетворяют соотношению
∫
𝑓*𝑔
𝑑𝑥
=0,
то говорят, что они ортогональны. Таким образом, из равенства (4.46) следует, что два состояния с различной энергией ортогональны.
Ниже будет дана интерпретация выражений типа ∫𝑓*𝑔𝑑𝑥, и мы увидим, что равенство (4.46) отражает тот факт, что если частица имеет энергию 𝐸 [и, следовательно, её волновая функция ψ1=exp(𝑖𝐸1𝑡/ℏ)φ1], то вероятность обнаружить у неё другое значение энергии 𝐸2 [т.е. волновую функцию exp(𝑖𝐸2𝑡/ℏ)φ2] должна равняться нулю.
Задача 4.8. Покажите, что когда оператор 𝐻 эрмитов, то собственное значение 𝐸 вещественно [для этого следует положить в равенстве (4.30) 𝑓=𝑔=φ1].
Задача 4.9. Покажите справедливость равенства (4.46) в случае, когда оператор 𝐻 эрмитов [для этого в равенстве (4.30) положите 𝑓=φ2, 𝑔=φ1].
Линейные комбинации функций стационарных состояний. Предположим, что функции, соответствующие набору энергетических уровней 𝐸𝑛, не только ортогональны, но также и нормированы т.е. интеграл от квадрата их модуля по всем значениям 𝑥 равен единице:
∞
∫
-∞
φ
*
𝑛
(𝑥)
φ
𝑚
(𝑥)
𝑑𝑥
=
δ
𝑛𝑚
,
(4.47)
где δ𝑛𝑚 — символ Кронекера, определяемый равенствами δ𝑛𝑚=0, если 𝑛≠𝑚, и δ𝑛𝑛=1. Большинство известных в физике функций можно представить в виде линейной комбинации ортогональных функций; в частности, в таком виде можно представить любую функцию, являющуюся решением волнового уравнения Шрёдингера:
𝑓(𝑥)=
∞
∑
𝑛=1
𝑎
𝑛
φ
𝑛
(𝑥).
(4.48)
Коэффициенты 𝑎𝑛 легко найти; умножая разложение (4.48) на сопряжённые функции φ*2(𝑥) и интегрируя по 𝑥, получаем
∞
