∫
-∞
φ
*
𝑚
𝑓(𝑥)
𝑑𝑥
=
∞
∑
𝑛=1
𝑎
𝑛
∞
∫
-∞
φ
*
𝑚
φ
𝑛
𝑑𝑥
=
𝑎
𝑚
(4.49)
и, следовательно,
𝑎
𝑛
=
∞
∫
-∞
φ
*
𝑛
(𝑥)𝑓(𝑥)
𝑑𝑥.
(4.50)
Таким образом мы получили тождество
𝑓(𝑥)
=
∞
∑
𝑛=1
φ
𝑛
(𝑥)
∞
∫
-∞
φ
*
𝑛
(𝑦)𝑓(𝑦)
𝑑𝑦
≡
∞
∫
-∞
⎡
⎢
⎣
∞
∑
𝑛=1
φ
𝑛
(𝑥)
φ
*
𝑛
(𝑦)
⎤
⎥
⎦
𝑓(𝑦)
𝑑𝑦.
(4.51)
Другой интересный способ получения того же результата исходит из определения δ-функции:
δ(𝑥-𝑦)=
∞
∑
𝑛=1
φ
𝑛
(𝑥)
φ
*
𝑛
(𝑦).
(4.52)
Ядро 𝐾 можно выразить через функции φ𝑛 и значения энергии 𝐸𝑛. Мы сделаем это с помощью следующих соображений. Пусть нас интересует, какой вид имеет волновая функция в момент времени 𝑡2, если она нам известна в момент времени 𝑡1. Так как она является решением уравнения Шрёдингера, то при любом 𝑡 её, как и всякое его решение, можно записать в виде
ψ(𝑥,𝑡)
=
∞
∑
𝑛=1
𝑐
𝑛
𝑒
-(𝑖/ℏ)𝐸𝑛𝑡
φ
𝑛
(𝑥).
(4.53)
Но в момент времени 𝑡1
𝑓(𝑥)
=
ψ(𝑥,𝑡
1
)
=
∞
∑
𝑛=1
𝑐
𝑛
𝑒
-(𝑖/ℏ)𝐸𝑛𝑡1
φ
𝑛
(𝑥)
=
∞
∑
𝑛=1
𝑎
𝑛
(𝑥)
φ
𝑛
(𝑥)
,
(4.54)
поскольку мы всегда можем представить 𝑓(𝑥) в виде ряда (4.48). Отсюда следует, что
𝑐
𝑛
=
𝑎
𝑛
𝑒
+(𝑖/ℏ)𝐸𝑛𝑡1
.
(4.55)
Подставив это в выражение (4.53), будем иметь
ψ(𝑥,𝑡
2
)
=
∞
∑
𝑛=1
𝑐
𝑛
𝑒
-(𝑖/ℏ)𝐸𝑛𝑡2
φ
𝑛
(𝑥)
=
∞
∑
𝑛=1
𝑎
𝑛
exp
⎡
⎢
⎣
+
𝑖
ℏ
𝐸
𝑛
(𝑡
1
-𝑡
2
)
⎤
⎥
⎦
φ
𝑛
(𝑥).
(4.56)
Используя теперь для коэффициентов 𝑎𝑛 выражение (4.50), получаем
ψ(𝑥,𝑡
2
)
=
∞
∑
𝑛=1
φ
𝑛
(𝑥)
exp
⎡
⎢
⎣
-
𝑖
ℏ
𝐸
𝑛
(𝑡
2
-𝑡
1
)
⎤
⎥
⎦
∞
∫
-∞
φ
*
𝑛
(𝑦)
𝑓(𝑦)
𝑑𝑦
=
=
∞
∫
-∞
∞
∑
𝑛=1
φ
𝑛
(𝑥)
φ
*
𝑛
(𝑦)
exp
⎡
⎢
⎣
-
𝑖
ℏ
𝐸
𝑛
(𝑡
2
-𝑡
1
)
⎤
⎥
⎦
𝑓(𝑦)
𝑑𝑦
.
(4.57)
Эта формула выражает волновую функцию в момент времени 𝑡2 через волновую функцию 𝑓(𝑥), относящуюся к моменту времени 𝑡1. Ранее мы выражали это соотношением
ψ(𝑥,𝑡
2
)
=
∞
∫
-∞
𝐾(𝑥,𝑡
2
;𝑦,𝑡
1
)
𝑓(𝑦)
𝑑𝑦
.
(4.58)
Сравнивая его с предыдущим, мы окончательно получаем искомое выражение для ядра 𝐾(2,1):
𝐾(𝑥
2
,𝑡
2
;𝑥
1
,𝑡
1
)
=
=
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
∞
∑
𝑛=1
φ
𝑛
(𝑥
2
)
φ
*
𝑛
(𝑥
1
)
exp
⎡
⎢
⎣
-
𝑖
ℏ
𝐸
𝑛
(𝑡
2
-𝑡
1
)
⎤
⎥
⎦
,
если 𝑡
2
> 𝑡
1
,
0,
если 𝑡
2
< 𝑡
1
.
(4.59)
Задача 4.10. Проверьте, что ядро 𝐾 определённое соотношением (4.59), удовлетворяет уравнению Шрёдингера.
Представление ядра 𝐾 в виде (4.59) оказывается очень полезным при переходе к более привычным изложениям квантовой механики. Ядро, определённое ранее как интеграл по траекториям, выражено здесь лишь через решения дифференциального уравнения (4.42).
Задача 4.11. Покажите, что в трёхмерном случае частные решения уравнения для свободных частиц
φ
𝑝
=
𝑒
(𝑖/ℏ)𝐩⋅𝐫
(4.60)
соответствуют энергии 𝐸𝑝=𝑝²/2𝑚. Докажите свойство ортогональности, рассматривая в качестве индекса 𝑛 вектор 𝐩, т.е. докажите, что для 𝐩≠𝐩'
𝐫
∫
φ
*
𝑝
φ
𝑝'
𝑑³𝐫=0
даже если 𝐸
𝑝
=𝐸
𝑝'
.
