(4.61)
В этом случае ядром, описывающим движение свободной частицы, будет выражение
𝐾
0
(𝐫
2
,𝑡
2
;𝐫
1
,𝑡
1
)
=
∑
𝐩
exp
⎡
⎢
⎣
-
𝑖
ℏ
𝐩⋅(𝐫
2
-𝐫
1
)
⎤
⎥
⎦
exp
⎡
⎢
⎣
-
𝑖𝑝²(𝑡1-𝑡1)
2ℏ𝑚
⎤
⎥
⎦
.
(4.62)
Так как векторы 𝐩 составляют континуум, сумма по «индексам» 𝐩 фактически эквивалентна интегралу по всем значениям 𝐩, т.е.
∑
𝐩
( )
=
𝐩
∫
( )
𝑑³𝐩
(2πℏ)³
.
(4.63)
Ядро для случая свободной частицы запишется как
𝐾
0
(𝐫
2
,𝑡
2
;𝐫
1
,𝑡
1
)
=
𝐩
∫
exp
⎡
⎢
⎣
-
𝑖
ℏ
𝐩⋅(𝐫
2
-𝐫
1
)
⎤
⎥
⎦
exp
⎡
⎢
⎣
-
𝑖𝑝²(𝑡1-𝑡1)
2ℏ𝑚
⎤
⎥
⎦
𝑑³𝐩
(2πℏ)³
.
(4.64)
Задача 4.12. Вычислите интеграл (4.64) в квадратурах. Покажите, что результат при этом получается в том виде, какой действительно должен быть у ядра для свободной частицы [т.е. представляет собой трёхмерное обобщение выражения (3.3)].
§ 3. Нормировка волновых функций свободной частицы
Вывод формулы для ядра в случае свободной частицы, приведённый в задаче 4.11, неудовлетворителен по двум причинам, которые связаны между собой. Во-первых, понятие суммы по различным состояниям 𝑛, использованной в выражении (4.62), не удовлетворительно, если состояния принадлежат непрерывному спектру, что имеет место в случае свободной частицы. Во-вторых, волновые функции для свободных частиц [плоские волны], хотя и являются ортогональными, однако не могут быть нормированы, так как
∞
∫
-∞
φ*φ
𝑑𝑥
=
∞
∫
-∞
1
𝑑𝑥
=∞
и не выполнено условие равенства (4.47), которое применялось при выводе выражения (4.62). Оба эти пункта можно одновременно исправить чисто математическим путём. Возвратимся к разложению произвольной функции по собственным функциям φ𝑛:
𝑓(𝑥)
=
∑
𝑛
𝑎
𝑛
φ
𝑛
(𝑥)
(4.65)
и учтём, что все или часть состояний могут принадлежать к непрерывному спектру, так что часть суммы по 𝑛 следует заменить интегралом. Можно математически строго получить корректное выражение для ядра 𝐾, аналогичное выражению (4.62), но применимое также и в том случае, когда состояния находятся в непрерывной части спектра.
Нормировка на конечный объём. Многие физики предпочитают другой, менее строгий подход. То, что они делают, заключается в некоторой модификации исходной задачи, причём результаты (в их физическом смысле) изменятся несущественно, однако все состояния оказываются дискретными по энергии и поэтому все разложения принимают вид простых сумм. В нашем примере этого можно достичь следующим образом. Мы рассматриваем амплитуду вероятности перехода из точки (𝑥1,𝑡1) в точку (𝑥2,𝑡2) за конечное время. Если эти две точки находятся на некотором конечном расстоянии друг от друга и разделяющий их промежуток времени не слишком велик, то в амплитуде заведомо не будет сколько-нибудь заметных различий от того, является ли электрон действительно свободным или предполагается помещённым в какой-то очень большой ящик объёмом 𝑉 со стенками, расположенными очень далеко от точек 𝑥1 и 𝑥2. Если бы частица могла достичь стенок и вернуться назад за время 𝑡2-𝑡1, это могло бы сказаться на амплитуде; но если стенки достаточно удалены, то они никак не повлияют на амплитуду.
Конечно, это предположение может стать неверным при некотором специальном выборе стенок; например, если точка 𝑥2 будет находиться в фокусе волн, вышедших из точки 𝑥1 и отражённых от стенок. Иногда по инерции допускают ошибку, заменяя систему, находящуюся в свободном пространстве, системой, расположенной в центре большой сферы. Тот факт, что система остаётся точно в центре идеальной сферы, может давать некий эффект (подобно появлению светлого пятна в центре тени от совершенно круглого предмета), который не исчезает, даже если радиус сферы стремится к бесконечности. Влияние поверхности было бы пренебрежимо малым в случае стенок другой формы или для системы, смещённой относительно центра этой сферы.
Рассмотрим сначала одномерный случай. Волновые функции, зависящие от координаты, имеют вид 𝑒𝑖𝑝𝑥, где 𝑥 принимает оба знака. Какой вид будут иметь функции φ, если область изменения 𝑥 ограничить произвольным интервалом от -𝐿/2 до 𝐿/2? Ответ зависит от граничных условий, определяющих значения φ в точках 𝑥=-𝐿/2 и 𝑥=𝐿/2. Простейшими с физической точки зрения являются граничные условия в случае стенок, создающих для частицы сильный отталкивающий потенциал, ограничивая тем самым область её движения (т.е. при идеальном отражении). В этом случае в точках 𝑥=-𝐿/2 и 𝑥=𝐿/2 φ(𝑥)=0. Решениями волнового уравнения
-
ℏ²
2𝑚
∂²φ
∂𝑥²
=
𝐸φ,
(4.66)
соответствующими энергии 𝐸=𝑝²/2𝑚=ℏ²𝑘²/2𝑚 в области |𝑥|<𝐿/2, будут экспоненты 𝑒𝑖𝑘𝑥 и 𝑒-𝑖𝑘𝑥 или любая их линейная комбинация. Как 𝑒𝑖𝑘𝑥, так и 𝑒-𝑖𝑘𝑥 не удовлетворяют выбранным граничным условиям, однако при 𝑘=𝑛π𝐿 (где 𝑛 — целое число) требуемыми свойствами обладает в случае нечётного 𝑛 их полусумма (т.е. cos 𝑘𝑥), а в случае чётного 𝑛 — делённая на 𝑖 их полуразность (т.е. sin 𝑘𝑥), как это схематически изображено на фиг. 4.1. Таким образом, волновые функции состояний имеют вид синусов и косинусов, а соответствующие им энергетические уровни дискретны и не составляют континуума.
Фиг. 4.1. Вид одномерных волновых функций, нормированных в ящике.
Показаны первые четыре из них. Энергии соответствующих уровней равны 𝐸1=ℏ²π²/2𝑚𝐿², 𝐸2=4𝐸1, 𝐸3=9𝐸1 и 𝐸4=16𝐸1. Абсолютное значение энергии, которое зависит от размеров нашего фиктивного ящика, несущественно для большинства реальных задач. То, что действительно имеет значение, — это соотношение между энергиями различных состояний.
Если решения записать в виде √2/𝐿 cos 𝑘𝑥 и √2/𝐿 sin 𝑘𝑥, то они будут нормированы, поскольку
𝐿/2
∫
𝐿/2
⎧
⎪
⎩
(2/𝐿)
½
