cos 𝑘𝑥
⎫²
⎪
⎭
𝑑𝑥
=1.
(4,67)
Сумма по всем состояниям является суммой по 𝑛. Если мы рассмотрим, например, синусоидальные волновые функции (т.е. чётные значения 𝑛), то при небольших значениях 𝑥 и очень большой величине 𝐿 (стенки далеки от интересующей нас точки) соседние по номерам 𝑛 функции различаются весьма незначительно. Их разность
√
2/𝐿
⎡
⎢
⎣
sin 2π(𝑛+1)
𝑥
𝐿
-sin 2π𝑛
𝑥
𝐿
⎤
⎥
⎦
=
=2
√
2/𝐿
cos 2π
2𝑛+1
2
𝑥
𝐿
sin 2π
𝑥
2𝐿
≈
≈
√
2/𝐿
2π𝑥
𝐿
cos 2π
⎧
⎪
⎩
𝑛+
1
2
⎫
⎪
⎭
𝑥
𝐿
(4.68)
приблизительно пропорциональна малой величине 𝑥/𝐿. Поэтому сумму по 𝑛 можно заменить интегралом по 𝑘=2π𝑛/𝐿. Так как допустимые значения 𝑛 расположены последовательно с интервалом 2π/𝐿, в промежутке Δ𝑛 расположено 𝐿/2πΔ𝑛 состояний. Все это применимо также и к состояниям с косинусоидальной волновой функцией, поэтому во всех наших формулах мы можем заменить суммы интегралами
∞
∑
𝑛=0
( )→
∞
∫
0
( )
𝑑𝑛
2π
𝐿,
(4.69)
не забывая, что в конце нужно сложить результаты для обоих типов волновых функций, а именно √2/𝐿 cos 𝑘𝑥 и √2/𝐿 sin 𝑘𝑥.
Часто бывает неудобным использовать в качестве волновых функций sin 𝑘𝑥 и cos 𝑘𝑥, и более предпочтительными являются их линейные комбинации
𝑒
𝑖𝑘𝑥
=
cos 𝑘𝑥
+𝑖
sin 𝑘𝑥
и
𝑒
-𝑖𝑘𝑥
=
cos 𝑘𝑥
-𝑖
sin 𝑘𝑥
.
Однако, вводя ограниченный объём 𝑉, мы вынуждены использовать синусы и косинусы, а не их линейные комбинации, потому что при заданном значении 𝑘 решением будет лишь одна из этих функций, а не обе сразу. Но если пренебречь малыми погрешностями, являющимися следствием таких небольших различий в значениях 𝑘, то мы можем рассчитывать на получение правильных результатов и с этими новыми линейными комбинациями. После нормировки они принимают вид √1/𝐿𝑒𝑖𝑘𝑥 и √1/𝐿𝑒-𝑖𝑘𝑥. Поскольку волну 𝑒-𝑖𝑘𝑥 можно рассматривать как волну 𝑒𝑖𝑘𝑥, но с отрицательным значением 𝑘, наша новая процедура, включая объединение двух типов волновых функций, сводится к следующему практическому правилу: взять волновые функции свободной частицы 𝑒𝑖𝑘𝑥, нормировать их на отрезке длины 𝐿 изменения переменной (т.е. положить φ=√1/𝐿𝑒𝑖𝑘𝑥) и заменить суммы по состояниям интегралами по переменной 𝑘 таким образом, чтобы число состояний со значениями 𝑘, заключённых в интервале (𝑘,𝑘+𝑑𝑘), было равно 𝐿𝑑𝑘/2π, а само 𝑘 изменялось от -∞ до +∞.
Периодические граничные условия. Иногда подобный экскурс к косинусам и синусам, а затем обратно к экспонентам удаётся обойти с помощью следующего довода. Так как введение стенки является искусственным приёмом, то её конкретное положение и соответствующее граничное условие не должны иметь какого-нибудь физического значения, если только стенка достаточно удалена. Поэтому вместо физически простых условий φ=0 мы можем использовать другие, решениями для которых сразу окажутся экспоненты 𝑒𝑖𝑘𝑥. Таковыми условиями являются
φ
⎧
⎪
⎩
𝐿
2
⎫
⎪
⎭
=φ
⎧
⎪
⎩
-
𝐿
2
⎫
⎪
⎭
(4.70)
и
φ'
⎧
⎪
⎩
𝐿
2
⎫
⎪
⎭
=φ'
⎧
⎪
⎩
-
𝐿
2
⎫
⎪
⎭
(4.71)
Их называют периодическими граничными условиями, потому что требование периодичности φ(𝑥) с периодом 𝐿 во всем пространстве привело бы к тем же самым условиям. Легко проверить, что функции √1/𝐿𝑒𝑖𝑘𝑥 являются нормированными на отрезке 𝐿 решениями при условии, что 𝑘=2π𝑛/𝐿, где 𝑛 — любое целое (положительное или отрицательное) число или нуль. Отсюда непосредственно следует правило, сформулированное выше.
Что происходит в случае трёх измерений, мы можем понять, если рассмотрим прямоугольный ящик со сторонами, равными 𝐿𝑥, 𝐿𝑦, 𝐿𝑧. Используем периодические граничные условия, т.е. потребуем, чтобы значения волновой функции и её первой производной на одной грани ящика были симметрично равны их значениям на противоположной грани. Нормированная волновая функция свободной частицы будет представлять собой произведение
√
1/𝐿
𝑥
𝑒
𝑖𝑘𝑥𝑥
√
1/𝐿
𝑦
𝑒
𝑖𝑘𝑦𝑦
√
1/𝐿
𝑧
𝑒
𝑖𝑘𝑧𝑧
=
1
𝑉½
𝑒
𝑖𝐤⋅𝐫
,
(4.72)
где 𝑉=𝐿𝑥𝐿𝑦𝐿𝑧 — объём ящика, и допустимыми значениями будут 𝑘𝑥=2π𝑛𝑥/𝐿𝑥, 𝑘𝑦=2π𝑛𝑦/𝐿𝑦 и 𝑘𝑧=2π𝑛𝑧/𝐿𝑧 (𝑛𝑥, 𝑛𝑦, 𝑛𝑧 — целые числа). Кроме того, число решений со значениями 𝑘𝑥, 𝑘𝑦, 𝑘𝑧, лежащими соответственно в интервалах 𝑑𝑘𝑥, 𝑑𝑘𝑦, 𝑑𝑘𝑧, равно произведению
𝑑𝑘𝑥
2π
𝐿
𝑥
𝑑𝑘𝑦
2π
𝐿
𝑦
𝑑𝑘𝑧
2π
𝐿
𝑧
=
𝑑³𝐤
(2π)³
𝑉.
(4.73)
Другими словами, мы использовали плоские волны, нормированные в объёме 𝑉. Число состояний в объёме 𝑑³𝐤 (дифференциальном объёме 𝐤-пространства) равно 𝑉𝑑³𝐤/(2π)³.
Применим это к задаче 4.11 и вспомним установленную в § 1 гл. 3 связь между импульсом и волновым числом 𝑝=ℏ𝑘. В выражении (4.64) мы должны сделать два изменения. Во-первых, поскольку волновыми функциями у нас были exp[(𝑖𝐩⋅𝐫)/ℏ], в то время как теперь мы должны использовать √1/𝑉exp[(𝑖𝐩⋅𝐫)/ℏ], нужно ввести добавочный множитель 1/𝑉. [Выражение (4.64) содержит произведение двух волновых функций.) Во-вторых, символ суммы
∑
𝐩
( )
надо заменить на интеграл 𝑉∫( )𝑑³𝐩/(2πℏ)³. Все это оправдывает то, что было проделано в § 2 гл. 4, а также результаты вывода в задаче 4.11.
Следует отметить, что множители 𝑉 сокращаются, как это и должно быть, так как при 𝑉→∞ ядро 𝐾 не должно зависеть от размера ящика.
Некоторые замечания о математической строгости. У читателя при виде того, как в конце вычислений объём 𝑉 сокращается, может возникнуть одна из двух реакций: либо удовлетворение от того, что он сокращается, как это и должно быть, поскольку стенки ни на что не влияют, либо недоумение, почему все делается так нестрого, «грязно» и запутанно, с помощью стенок, которые не имеют никакого реального смысла, и т. д., когда все это можно было бы выполнить намного изящнее и математически строже без всяких стенок и тому подобных вещей. Тип такой реакции зависит от того, мыслите ли вы физически или же математически. По поводу математической строгости в физике между математиками и физиками возникает много недоразумений, поэтому, быть может, уместно дать оценку каждому методу: рассуждениям с ящиком и математически строгому рассмотрению.
