§11. Вычисление интегралов по траекториям с помощью рядов Фурье
Рассмотрим интеграл по траекториям для случая гармонического осциллятора (см. задачу 3.8). Этот интеграл имеет вид
𝐾(𝑏,𝑎)
=
𝑏
∫
𝑎
⎧
⎨
⎩
exp
⎡
⎢
⎣
𝑖
ℏ
𝑡𝑏
∫
𝑡𝑎
𝑚
2
(𝑥̇²-ω²𝑥²)
𝑑𝑡
⎤
⎥
⎦
⎫
⎬
⎭
𝒟𝑥(𝑡).
(3.83)
С помощью методов, изложенных в § 5, этот интеграл по траекториям, как и в задаче 3.8, можно свести к произведению двух функций. Наиболее важная из этих функций зависит от классической траектории гармонического осциллятора и содержится в формуле (3.59). Другая функция, зависящая только от временного интеграла, приведена в равенстве (3.60). Эту функцию можно записать как
𝐹(𝑇)
=
0
∫
0
⎧
⎨
⎩
exp
⎡
⎢
⎣
𝑖
ℏ
𝑇
∫
0
𝑚
2
(𝑦̇²-ω²𝑦²)
𝑑𝑡
⎤
⎥
⎦
⎫
⎬
⎭
𝒟𝑦(𝑡).
(3.84)
Мы вычислим этот интеграл, во всяком случае, с точностью до множителя, не зависящего от ω, способом, который иллюстрирует ещё одну возможность в обращении с интегралами по траекториям. Поскольку все траектории выходят из точки 0 в момент времени 𝑡=0 и возвращаются в эту же точку в момент 𝑡=𝑇, функцию 𝑦(𝑡) можно разложить в ряд Фурье по синусам с основной гармоникой, равной 2π/𝑇:
𝑦(𝑡)=
∑
𝑛
𝑎
𝑛
sin
𝑛π𝑡
𝑇
.
(3.85)
Тогда вместо того, чтобы в каждый момент времени 𝑡 рассматривать траектории как функции от 𝑦, мы можем считать их функциями коэффициентов 𝑎𝑛. Это есть линейное преобразование, якобиан которого 𝐽 является постоянной величиной, не зависящей, очевидно, от ω, 𝑚 и ℏ.
Конечно, этот якобиан можно вычислить непосредственно. Однако мы избежим здесь этого вычисления, собрав все множители, которые не зависят от ω (в том числе и 𝐽), в одну константу. Точное значение этой постоянной всегда можно найти, поскольку мы знаем её значение 𝐹(𝑇)=√𝑚/2π𝑖ℏ𝑇 для ω=0 (случай свободной частицы).
Интеграл для действия может быть записан через ряды Фурье (3.85). Поэтому член, пропорциональный кинетической энергии, становится равным
𝑇
∫
0
𝑦̇²
𝑑𝑡
=
∑
𝑛
∑
𝑚
𝑛π
𝑇
𝑚π
𝑇
𝑎
𝑛
𝑎
𝑚
𝑇
∫
0
cos
𝑛π𝑡
𝑇
cos
𝑚π𝑡
𝑇
𝑑𝑡
=
=
𝑇⋅
1
2
∑
𝑛
⎧
⎪
⎩
𝑛π
𝑇
⎫²
⎪
⎭
𝑎
²
𝑛
(3.86)
и аналогично член, пропорциональный потенциальной энергии, становится равным
𝑇
∫
0
𝑦²
𝑑𝑡
=
𝑇⋅
1
2
∑
𝑛
𝑎
²
𝑛
(3.87)
Если предположить, что время 𝑇 разделено на интервалы длины ε, как это указано в равенствах (2.19), так что имеется лишь конечное число 𝑁 коэффициентов 𝑎𝑛, то интеграл по траекториям приобретает вид
𝐹(𝑇)
=
𝐽
∞
∫
-∞
∞
∫
-∞
…
∞
∫
-∞
⎧
⎪
⎩
exp
⎧
⎨
⎩
𝑁
∑
𝑛=1
𝑖𝑚
2ℏ
⎡
⎢
⎣
⎧
⎪
⎩
𝑛π
𝑇
⎫²
⎪
⎭
-ω²
⎤
⎥
⎦
𝑎
²
𝑛
⎫
⎬
⎭
⎫
⎪
⎭
×
×
𝑑𝑎1
𝐴
𝑑𝑎2
𝐴
…
𝑑𝑎𝑁
𝐴
.
(3.88)
Поскольку экспонента может быть разбита на сомножители, то можно порознь вычислить интеграл по каждому из коэффициентов 𝑎𝑛. В результате такого интегрирования получим
∞
∫
-∞
⎧
⎨
⎩
exp
⎡
⎢
⎣
𝑖𝑚
2ℏ
⎧
⎪
⎩
𝑛²π²
𝑇²
-ω²
⎫
⎪
⎭
𝑎
²
𝑛
⎤
⎥
⎦
⎫
⎬
⎭
𝑑𝑎𝑛
𝐴
=
⎧
⎪
⎩
𝑛²π²
𝑇²
-ω²
⎫-½
⎪
⎭
.
(3.89)
Таким образом, интеграл по траекториям пропорционален произведению
𝑁
∏
𝑛=1
⎧
⎪
⎩
𝑛²π²
𝑇²
-ω²
⎫-½
⎪
⎭
=
𝑁
∏
𝑛=1
⎧
⎪
⎩
𝑛²π²
𝑇²
⎫-½
⎪
⎭
𝑁
∏
𝑛=1
⎧
⎪
⎩
1-
ω²𝑇²
𝑛²π²
⎫-½
⎪
⎭
.
(3.90)
Первое произведение справа не зависит от ω и объединяется с якобианом и другими сомножителями, которые мы собрали в одну постоянную. Второе произведение стремится к пределу [(sin ω𝑇)/ω𝑇]-½, когда 𝑁→∞, т.е. когда ε→0. Поэтому
