𝑚
𝐺'
00
=
=
𝐺
00
𝐺'
00
𝑒
β*β'
.
(12.119)
Как и ожидалось, подстановка равенств (8.138) и (8.143) приводит к функционалу 𝐹 типа (12.104), но при этом
α(𝑡,𝑡')
=
𝐶²
2ω
𝑒
-𝑖ω(𝑡,𝑡')
.
(12.120)
Например, члены с 𝑞𝑞' в выражении (12.104) получаются прямо из члена β*β' в экспоненте; соотношение (8.143) для этого случая даёт
𝐶²
2ω
⎡
⎢
⎣
∫
𝑞(𝑡)
𝑒
𝑖ω𝑡
𝑑𝑡
⎤
⎥
⎦
⎡
⎢
⎣
∫
𝑞'(𝑡)
𝑒
-𝑖ω𝑡
𝑑𝑡
⎤
⎥
⎦
=
=
𝐶²
2ω
∫
𝑡
∫
[
𝑞(𝑡)
𝑞'(𝑡')
𝑒
𝑖ω(𝑡-𝑡')
+
𝑞'(𝑡)
𝑞(𝑡')
𝑒
𝑖ω(𝑡-𝑡')
]
𝑑𝑡'
𝑑𝑡
.
(12.121)
Поэтому определяемая преобразованием (12.109) величина 𝑎(ν) равна
𝑎(ν)
=
𝐶²
2ω
∞
∫
0
𝑒
-𝑖ω𝑡
𝑒
-𝑖ν𝑡
𝑑𝑡
=
𝐶²
2ω
⎡
⎢
⎣
-𝑖
𝐏𝐏
1
ω+ν
+
πδ(ω+ν)
⎤
⎥
⎦
(12.122)
[см. равенство (5.17) и приложение], так что действительная часть
𝑎
𝑅
(ν)
=
𝐶²
2ω
δ(ω+ν)
.
(12.123)
Для положительных ν эта величина обращается в нуль. Как и ожидалось, мы получили «холодную среду», определяемую выражением (12.114).
Если действует много независимых осцилляторов с различными частотами, то, согласно правилу IV, их функции 𝑎𝑅(ν) складываются. Поэтому в таком гауссовом приближении любая холодная система эквивалентна континууму осцилляторов, находящихся в основном состоянии. Это — следствие того, что для отрицательных ν любую функцию 𝑎𝑅(ν) можно построить из δ -функций в форме (12.123).
Другой интересный пример — это взаимодействие с осциллятором при конечной температуре. Если температура равна 𝑇, то начальное состояние — это состояние 𝑛 с относительной вероятностью 𝑒-𝐸𝑛/𝓀𝑇. В нашем случае абсолютная вероятность
𝑤
𝑛
=
𝑒
-𝑛ℏω/𝓀𝑇
(1-𝑒
-ℏω/𝓀𝑇
)
.
(12.124)
Если бы начальным было состояние 𝑛, то функционал влияния имел бы вид
𝐹
𝑛
=
∑
𝑚
𝐺
𝑚𝑛
𝐺
'*
𝑚𝑛
,
(12.125)
а не (12.119). Используя правило III, сложим эти функционалы с весами 𝑤𝑛, так что окончательное выражение для функционала 𝐹 равно
𝐹
=
∑
𝑚,𝑛
𝐺
𝑚𝑛
𝐺
'*
𝑚𝑛
𝑒
-𝑛ℏω/𝓀𝑇
(1-𝑒
-ℏω/𝓀𝑇
)
.
(12.126)
Эту сумму трудно получить непосредственно из выражения (8.145). Она равна
𝐹
=
𝐺
00
𝐺'
00
𝑒
β*β'
exp
⎡
⎢
⎣
-
(β-β')(β*-β'*)
𝑒ℏω/𝓀𝑇-1
⎤
⎥
⎦
.
(12.127)
Вместо (12.123) для 𝑎𝑅(ν) получается выражение
𝑎
𝑅
(ν)
=
𝐶²
2ω
⎡
⎢
⎣
𝑒ℏω/𝓀𝑇
𝑒ℏω/𝓀𝑇-1
δ(ω+ν)
+
1
𝑒ℏω/𝓀𝑇-1
δ(ω-ν)
⎤
⎥
⎦
,
(12.128)
а суммы таких выражений для многих осцилляторов дают описание среды. Здесь возможны переходы как к меньшим (ω<0), так и к большим энергиям.
Заметим, что если ν>0, то обратится в нуль первая δ-функция, тогда как при ν<0 равна нулю вторая δ-функция; кроме того, как и следовало ожидать,
𝑎
𝑅
(-|ν|)
=
𝑒
ℏ|ν|/𝓀𝑇
𝑎
𝑅
(+|ν|)
.
(12.129)
Это соотношение означает, что в теории возмущений, когда 𝐸𝑛>𝐸𝑚,
вероятность перехода за 1 сек
к большим энергиям (𝑚→𝑛)
вероятность перехода за 1 сек
к меньшим энергиям (𝑛→𝑚)
=
=
𝑒
-(𝐸𝑛-𝐸𝑚)/𝓀𝑇
;
(12.130)
при этом мы воспользовались выражением (12.110).
Таким образом, если система 𝑞 занимает различные состояния 𝑛 с относительными вероятностями 𝑒-(𝐸𝑛)/𝓀𝑇, то средние числа переходов к большим и меньшим энергиям будут выравниваться и в случае слабого взаимодействия с окружающей средой система будет находиться в статистическом равновесии. Именно это и следовало ожидать из принципов статистики. Любая среда с температурой 𝑇, приводящая к квадратичному функционалу влияния, будет обладать свойствами, описываемыми соотношением (12.129).
Для атома, рассматриваемого в качестве системы 𝑞 и взаимодействующего с электромагнитным полем при температуре 𝑇 как с некоторой средой, величина 𝑎𝑅(ν) даётся выражением (12.128), проинтегрированным по всем собственным колебаниям поля с различными частотами ω. Его можно разделить на часть, соответствующую холодной среде, описываемую уравнением (12.123), и внешний шумовой потенциал
𝑎
𝑅
(ν)
=
𝐶²
2ω
δ(ω+ν)
+
1
𝑒ℏω/𝓀𝑇-1
𝐶²
2ω
[
δ(ω+ν)
+
δ(ω-ν)
]
.
(12.131)
Первый член вызывает переходы только к более низким уровням, называемым спонтанным излучением. Второй член с одинаковой лёгкостью вызывает переходы вверх и вниз, называемые индуцированным излучением, или индуцированным поглощением. Мы говорим, что этот переход вызывается внешним потенциалом или шумом, среднеквадратичная интенсивность которого при частоте ν меняется с температурой как 1/(𝑒ℏν/𝓀𝑇-1). Таким способом Эйнштейн впервые рассмотрел законы излучения чёрного тела. Как мы теперь видим, любое окружение, дающее квадратичный потенциал влияния при температуре 𝑇 (назовём его окружением с линейной реакцией), можно рассмотреть тем же путём. Многие исследователи распространили аргументы Эйнштейна на другие системы, например на шумовые флуктуации потенциала в вольтметре при температуре 𝑇. Первый член измеряет скорость, с которой энергия определённым способом отбирается от системы. Он измеряет величину диссипации, вызванной средой (например, электрическим сопротивлением металла или радиационным сопротивлением электромагнитного поля). Относительно тел при температуре 𝑇 можно сказать, что они ведут себя так, как будто, кроме диссипации, имеется генерируемый средой шумовой сигнал, средний квадрат которого при любой частоте пропорционален диссипации при той же частоте и величине (𝑒ℏν/𝓀𝑇-1)-1. Это утверждение называется диссипатпивно-флуктуационной теоремой.
