𝑎(ν)
=
∞
∫
0
α(τ)
𝑒
-ντ
𝑑τ
(12.109)
[α𝑡 не определена для 𝑡<0]. Так как вероятность, задаваемая формулой (12.108), пропорциональна интервалу времени, на который распространяются интегралы, то можно определить скорость перехода за 1 сек и вероятность перехода
𝑃(𝑛→𝑚)
за 1 сек
=
2𝑎
𝑅
(𝐸
𝑚
-𝐸
𝑛
)
|𝑝
𝑛𝑚
|²
,
(12.110)
где мы выделили действительную и мнимую части 𝑎(ν):
𝑎(ν)
=
𝑎
𝑅
(ν)
+
𝑖𝑎
𝐼
(ν)
.
(12.111)
Можно отметить также, что для возмущения, вызываемого классическим потенциалом, соответствующим гауссову шуму, α(τ) — действительная функция [см. (12.87)1, а действительная часть α(ν) является спектральной функцией мощности шума, определённой соотношением (12.32). Следовательно, для таких классических шумовых систем
𝑎
𝑅
(ν)
=
𝑎
𝑅
(-ν)
(12.112)
и в первом порядке по возмущению
[скорость перехода 𝑛→𝑚]
=
[скорость перехода 𝑚→𝑛]
.
(12.113)
Обе скорости пропорциональны мощности 𝑃(ω) при значении ω, равном частоте перехода. Таким образом, классические потенциалы с равной вероятностью вызывают переходы вверх и вниз.
Другой интересный пример представляет среда, которая не может с какой-либо заметной вероятностью возмещать энергию. Например, если первоначально она находится в основном состоянии или при нулевой температуре. Мы назовём такую среду «холодной». В этом случае переходы системы 𝑞 с возрастанием энергии (𝐸𝑚-𝐸𝑛) маловероятны. Следовательно, для систем в холодной среде
𝑎
𝑅
(ν)
при
ν>0
(12.114)
и в первом порядке по возмущению
[скорость перехода 𝑛→𝑚]
=0, если 𝐸
𝑚
-𝐸
𝑛
.
(12.115)
Так как любая функция 𝑎(ν) может быть представлена суммой двух величин [величины, определяемой соотношением (12.112), и величины, определённой в (12.114)], то очевидно, что любой не зависящий от времени гауссов функционал эквивалентен системе в холодной среде, подвергающейся воздействию флуктуирующего классического потенциала, описываемого гауссовым выражением. Этот вывод следует из правила IV и того факта, что произведение двух гауссовых функций тоже есть гауссова функция. Если воздействие одной среды на систему представляется функцией 𝐴1(𝑡,𝑡'), как это сделано в соотношении (12.87), а воздействие другой среды — аналогичной функцией 𝐴2(𝑡,𝑡'), то единственный член взаимодействия в парциальном результирующем гауссовом функционале равен 𝐴1+𝐴2.
§ 9. Функционал влияния гармонического осциллятора
Ниже мы дадим пример того, как из выражения (12.90) можно вывести функционал 𝐹 для среды, состоящей из гармонических осцилляторов с координатами 𝑄. Осцилляторы находятся в основном состоянии и их координаты линейно связаны с координатами 𝑞, взаимодействие описывается членом 𝑆𝑖(𝑞,𝑄) = 𝐶∫𝑞(𝑡)𝑄(𝑡)𝑑𝑡. Будем считать, что все осцилляторы имеют единичную массу и собственную частоту ω, так что
𝑆
0
(𝑄)
=
1
2
∫
[
𝑄̇(𝑡)²
+
ω²𝑄(𝑡)²
]
𝑑𝑡
.
(12.116)
Тогда
𝐹[𝑞(𝑡),𝑞'(𝑡)]
=
∑
𝑚
∬
exp
⎧
⎨
⎩
𝑖
⎡
⎢
⎣
1
2
𝑄̇(𝑡)²
+
1
2
ω²𝑄(𝑡)²
+
+
𝐶𝑞(𝑡)
𝑄(𝑡)
⎤
⎥
⎦
𝑑𝑡
⎫
⎬
⎭
exp
⎧
⎨
⎩
-𝑖
∫
⎡
⎢
⎣
1
2
𝑄̇'(𝑡)²
+
1
2
ω²𝑄'(𝑡)²
+
+
𝐶𝑞'(𝑡)
𝑄'(𝑡)
⎤
⎥
⎦
𝑑𝑡
⎫
⎬
⎭
𝒟𝑄(𝑡)
𝒟𝑄'(𝑡)
,
(12.117)
где 𝑚 — конечное состояние, а первоначальным является основное состояние. Легко видеть, что интеграл по 𝑄 гауссов, и фактически мы уже вычисляли его. Он точно совпадает с амплитудой перехода 𝐺𝑚0, полученной в § 9 гл. 8 для гармонического осциллятора, на который действует внешняя сила. Сила, обозначенная там через γ(𝑡), здесь равна 𝐶𝑞(𝑡) 1). Поэтому амплитуда определяется выражением (8.145) при 𝑛=0:
𝐺
𝑚0
=
(𝑚!)
-½
(𝑖β*)
𝑚
𝐺
00
,
(12.118)
1) Возможно, для читателя будет предпочтительнее представить выражение (12.117) в форме 𝐹[𝑞(𝑡),𝑞'(𝑡)] = ∫ 𝑑𝑄𝑓 𝐾(𝑄𝑓,𝑡𝑓;𝑄𝑖𝑡𝑖) 𝐾'*(𝑄𝑓,𝑡𝑓;𝑄'𝑖𝑡𝑖) φ0(𝑄𝑖) φ*0(𝑄'𝑖) 𝑑𝑄𝑖 𝑑𝑄'𝑖 ,
где 𝐾 — ядро вида (3.66) для осциллятора, движущегося под действием внешней силы 𝑓(𝑡)=𝐶𝑞(𝑡), а 𝐾' — аналогичное ядро для 𝑓(𝑡)=𝐶𝑞'(𝑡); φ0(𝑄) — волновая функция осциллятора в основном состоянии. Тогда все переменные 𝑄𝑖, 𝑄'𝑖 и 𝑄'𝑓 входят в простой гауссовой форме и интегрирование можно выполнить непосредственно. Очень просто рассмотреть случай конечной температуры. При этом вероятность обнаружить систему в начальном состоянии 𝑛 пропорциональна 𝑒-β𝐸𝑛, так что, согласно правилу IV, окончательное выражение функционала 𝐹 найдём, если в полученном выше выражении волновые функции φ(𝑄𝑖) φ*(𝑄'𝑖) заменить на const
∑
𝑛 φ𝑛(𝑄𝑖) φ*𝑛(𝑄'𝑖) 𝑒-β𝐸𝑛 ,
т.е. на матрицу плотности ρ(𝑄𝑖,𝑄'𝑖) выведенную в § 1 гл. 10. Интегралы по-прежнему остаются гауссовыми.
причём 𝐺 определяется равенством (8.138), а β* равенством (8.143) с заменой γ(𝑡) на 𝐶𝑞(𝑡). Аналогично интеграл по 𝑄 является комплексно-сопряжённой величиной для такого же выражения, где γ(𝑡) следует лишь заменить на 𝐶𝑞'(𝑡). Величины, полученные после такой замены, будем отмечать штрихами. Тогда сумма по конечным состояниям в выражении (12.117) даст нам
𝐸(𝑞,𝑞')
=
∑
𝑚
𝐺
𝑚0
𝐺
'*
𝑚0
=
∑
𝑛
(𝑚!)
-½
(𝑖β*)
𝑚
𝐺
00
(𝑚!)
-½
(-𝑖β')
