Нет необходимости обсуждать этот простой случай далее; он анализируется до конца, если добавить член 𝑞(𝑡)𝑉(𝑡) к гамильтониану невозмущённой системы. Если в показателе экспоненты содержатся и квадратичный и линейный члены, то последний можно выделить в отдельный множитель, так что правило IV позволяет нам утверждать: в данном случае действует классический потенциал плюс эффект чисто квадратичного функционала.
Самый общий экспоненциальный функционал, квадратичный относительно своих аргументов, имеет вид
𝐹[𝑞(𝑡),𝑞'(𝑡)]
=
exp
⎧
⎨
⎩
-
∫
𝑡
∫
[
α(𝑡,𝑡')
𝑞(𝑡)
𝑞(𝑡')
+
β(𝑡,𝑡')
𝑞'(𝑡)
𝑞'(𝑡')
+
+
γ(𝑡,𝑡')
𝑞(𝑡)
𝑞'(𝑡')
+
δ(𝑡,𝑡')
𝑞'(𝑡)
𝑞(𝑡')
]
𝑑𝑡
𝑑𝑡'
⎫
⎬
⎭
(12.99)
с произвольными комплексными функциями α, β, γ и δ. (Эти функции достаточно определить только для 𝑡>𝑡'.) Интегралы берутся здесь по всему интересующему нас интервалу времени, однако мы всегда выбираем 𝑡>𝑡'; это не ограничивает общности и удобно для дальнейшего анализа. Чтобы функционал оказался функционалом влияния, мы должны в соответствии с правилом I положить
β(𝑡,𝑡')
=
α*(𝑡,𝑡')
(12.100)
и
γ(𝑡,𝑡')
=
δ*(𝑡,𝑡')
(12.101)
Правило II даёт нам больше информации. Если положить 𝑞(𝑡)=𝑞'(𝑡) для 𝑡>𝑎 и 𝑡'<𝑎, то выражение
∫
𝑎
𝑎
∫
[
α(𝑡,𝑡')
𝑞(𝑡)
𝑞(𝑡')
+
β(𝑡,𝑡')
𝑞'(𝑡)
𝑞'(𝑡')
+
+
γ(𝑡,𝑡')
𝑞(𝑡)
𝑞'(𝑡')
+
δ(𝑡,𝑡')
𝑞'(𝑡)
𝑞(𝑡')
]
𝑑𝑡
𝑑𝑡'
,
(12.102)
составляющее часть равенства (12.99), не должно зависеть от 𝑞(𝑡) при произвольных значениях 𝑞(𝑡') в области 𝑡>𝑎 и 𝑞'(𝑡') в области 𝑡'<𝑎. Для этого необходимо, чтобы
δ(𝑡,𝑡')
=-
α(𝑡,𝑡')
,
γ(𝑡,𝑡')
=-
β(𝑡,𝑡')
(12.103)
до тех пор, пока 𝑡>𝑎 и 𝑡'<𝑎. А так как 𝑎 — произвольная величина, то условия (12.103) должны выполняться для всех 𝑡 и 𝑡', если только 𝑡>𝑡'.
Отсюда следует, что самый общий гауссов функционал влияния зависит только от одной комплексной функции α(𝑡,𝑡') и выражается в форме
exp
⎧
⎨
⎩
-
∫
𝑡
∫
[𝑞(𝑡)-𝑞'(𝑡)]
[
𝑞(𝑡')α(𝑡,𝑡')
-
𝑞'(𝑡')α*(𝑡,𝑡')
]
𝑑𝑡
𝑑𝑡'
⎫
⎬
⎭
.
(12.104)
В случае когда α(𝑡,𝑡') — действительная функция, например, равна 𝐴(𝑡,𝑡'), наш функционал эквивалентен экспоненциальному фактору в выражении (12.87), и мы получаем эквивалент классического шумового возмущения. Вообще говоря, в квантовомеханических системах α — комплексная величина. Важным частным случаем является функция α, зависящая только от разности 𝑡 и 𝑡: α(𝑡,𝑡')=α(𝑡-𝑡'). В этом случае мы имеем дело с окружающей системой, усреднённые свойства которой не зависят от абсолютного времени.
Чтобы облегчить понимание некоторых свойств выражения (12.104), найдём вероятность того, что система 𝑞 переходит из энергетического состояния 𝑛 в некоторое другое ортогональное состояние 𝑚 за время 𝑇. Предположим, что α очень мало и можно использовать теорию возмущений. Если разложить 𝐹, определяемый выражением (12.104), то главный член обратится в нуль из-за ортогональности состояний. Следующий член, линейный по α, состоитиз четырёх частей. Одна из них это
∫
𝑡
∫
α(𝑡,𝑡')
𝑞(𝑡)
𝑞(𝑡')
𝑑𝑡'
𝑑𝑡
.
Если подставить её вместо 𝐹 в выражение (12.89) и вычислить, как в (12.83) при φ=φ𝑛 и χ=φ𝑚, то видно, что интеграл по 𝒟𝑞(𝑡) и 𝒟𝑞'(𝑡) разбивается на произведение двух сомножителей. Первый интеграл по 𝑞 имеет вид
∫
𝑒
𝑖𝑆[𝑞]
⎡
⎢
⎣
∫
𝑡
∫
α(𝑡,𝑡')
𝑞(𝑡)
𝑞(𝑡')
𝑑𝑡'
𝑑𝑡
⎤
⎥
⎦
𝒟𝑞(𝑡)
и представляет собой матричный элемент
𝑚
╱
╲
-
∫
𝑡
∫
α(𝑡,𝑡')
𝑞(𝑡)
𝑞(𝑡')
𝑑𝑡'
𝑑𝑡
╲
╱
𝑛
=
=
-
∫
𝑡
∫
𝑚
⟨
𝑞(𝑡)
𝑞(𝑡')
⟩
𝑛
α(𝑡,𝑡')
𝑑𝑡'
𝑑𝑡
(12.105)
(см. гл. 4). Интеграл no 𝒟𝑞' равен просто ∫𝑒𝑖𝑆[𝑞]𝒟𝑞' и комплексно сопряжён матричному элементу 𝑚⟨1⟩𝑛. Рассматривая аналогичным способом другие члены, получаем полную вероятность перехода
𝑃(𝑛→𝑚)
=
∫
𝑡
∫
[
α(𝑡,𝑡')
𝑚
⟨
𝑞(𝑡)
𝑞(𝑡')
⟩
𝑛
𝑚
⟨1⟩
𝑛
-
-
α*(𝑡,𝑡')
𝑚
⟨1⟩
𝑛
𝑚
⟨
𝑞(𝑡)
𝑞(𝑡')
⟩*
𝑛
+
α*(𝑡,𝑡')
𝑚
⟨𝑞(𝑡)⟩
𝑛
𝑚
⟨𝑞(𝑡')⟩*
𝑛
+
+
α(𝑡,𝑡')
𝑚
⟨𝑞(𝑡)⟩*
𝑛
𝑚
⟨𝑞(𝑡')⟩
𝑛
]
𝑑𝑡'
𝑑𝑡
.
(12.106)
Если состояния 𝑚 и 𝑛 ортогональны, то 𝑚⟨1⟩𝑛=0; если же действие 𝑆[𝑞] соответствует постоянному гамильтониану с энергетическими уровнями 𝐸𝑘, то
𝑚
⟨𝑞(𝑡)⟩
𝑛
=
𝑞
𝑚𝑛
𝑒
-𝑖(𝐸𝑚-𝐸𝑛)𝑡
(12.107)
В выражении (12.106) остаются только два последних члена, комплексно сопряжённых друг с другом, так что
𝑃(𝑛→𝑚)
=
2𝖱𝖾
∫
𝑡
∫
α(𝑡,𝑡')
𝑒
-𝑖(𝐸𝑚-𝐸𝑛)(𝑡-𝑡')
𝑑𝑡'
𝑑𝑡
.
(12.108)
Задача 12.3. Проверьте, что для 𝑚=𝑛 в соответствии с законом сохранения вероятности
𝑃(𝑚→𝑚)
=
1-
∑
𝑛
𝑃(𝑚→𝑛)
Для однородной по времени среды α(𝑡,𝑡')=α(𝑡-𝑡'). Предположим, что мы определили преобразование Фурье
